答案：①③
解析：①中??-11f (x )g (x )d x ＝??-1
1? ????sin 12x cos 12x d x ＝??-1
1? ????12
sin x d x ＝0； ②中??-11f (x )g (x )d x ＝??1－1(x ＋1)(x －1)d x ＝??-11 (x 2－1)d x ＝? ????x 33－x 1－1＝－43≠0； ③中f (x )·g (x )＝x 3
为奇函数，在[－1,1]上的积分为0，故①③满足条件．
4.在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值．
解：S 1的面积等于边长分别为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2
与x 轴、直线x ＝t 所围
成的面积，即S 1＝t ·t 2－??0t x 2d x ＝23t 3. S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t 2,1－t 面
积，即S 2＝??t
1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13.所以阴影部分的面积S (t )＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ? ??
??t －12＝0，得t ＝0或t ＝12.当t ＝0时，S (t )＝13；当t ＝12时，S (t )＝14；当t ＝1时，S (t )＝23.所以当t ＝12时，S (t )最小，且最小值为14
. 5．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积．
解：∵(1,2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点，
设过点(1,2)处的切线的斜率为k ，
则k ＝f ′(1)＝(3x 2－2x ＋1)x ＝1＝2，