2010-2011(1)数值计算方法(A卷)及答案(4)

参答案及评分标准：

一、D、C、D、C、A 二、（1）4，（2）1 x +1 + x 

，（3）2，（4）n­1 （5） x n + 1 = x n x n - f ( x n ) 

1 - f ¢ ( x n ) 

三、解：设要取n位有效数字，则由定理知，要求 

* 

|x- x |11 1-n1 - n 

£´10=´10< 0.1% ， （3分） * 

|x|2a1  2´ 4 

1 

只需取 n= 4 ，就有´101- 4 < 0.1% ，即查开方表时，取 4 位有

2´ 4

效数字。 （3分）

四、解：

（1） 以已知函数值为插值条件的二次多项式为 

N 2 ( x ) = f ( 0 ) + f [ 0 , 1 ]( x - 0 ) + f [ 0 , 1 `, 2 ]( x - 0 ) x ( x - 1 ) = 1 + 1 × x + 3 × x ( x - 1 ) = 3 x - 2 x + 1 

设所求插值多项式为 ： 

2 

（5 分）

H 3 ( x ) = N 2 ( x ) + k ( x - 0 )( x - 1 )( x - 2 ) 

¢ ( ¢ ( 于是 3 = H 3 1 ) = N 2 1 ) + k ( 1 - 0 )( 1 - 2 ) = 4 - k ，得 k = 1 ，

所以 H 3 ( x ) = N 2 ( x ) + ( x - 0 )( x - 1 )( x - 2 ) = x + 1 。 （2）

误差表达式： 

3 

（2 分）

（2 分）

f (4) (x ) 

R(x)=f(x)-P3 (x)=x(x-1)2 (x - 2). xÎ (0,2)

4! 

证明：不妨设 x¹ 0,1,2 ，作辅助函数 

R(x ) 2 

y (t)=f(t)-P3 (t)-t(t-1)(t - 2) 2 

x(x-1)(x - 2) 

易验证y (0)=y(1)=y(2)=y(x )=0,y¢ (1)= 0 反复利用 Rolle定理知，存在 xÎ (0,2) ，使 y ( 4 ) ( x ) = 0 , 由于 P t ) 为 3 次多项式，所以 3 ( 

R(x )4! 

f (4) (x )-= 0 ， 整理后即得

x(x-1)2 (x - 2) 

（3）

（3）