2011年中考数学试题
B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点．
⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．
①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；
②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．
① ② ③
(第27题)
【答案】解：⑴在Rt △ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，∴CD
∴CD=BD．
∴∠BCE＝∠ABC．∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB．∴△BCE∽△ABC．
∴E是△ABC的自相似点．
⑵①作图略．
作法如下：（i）在∠ABC内，作∠CBD＝∠A；
（ii）在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于点P．
则P为△ABC的自相似点．
②连接PB、PC．∵P为△ABC的内心，∴ PBC
∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC．
∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠A，
∠ACB＝2∠BCP=4∠A．∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°．
∴∠A+2∠A+4∠A＝180°． 1AB，211 ABC， PCB ACB． 22
180 180 360 720
∴ A ．∴该三角形三个内角的度数分别为、、． 7777
10．（2011江苏无锡，26，6分）(本题满分6分)如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰
长为3，一个底角为60°。正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A
与M重合。现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ
进行翻滚，翻滚到有