高等代数论文
有关矩阵多项式的结论总结与进一步探讨
数学系 01数本 2001141104 江 飞 指导老师：杨忠鹏
摘要:本文主要系统小结有关矩阵多项式若干结论,这主要包括三个方面：矩阵多项式集合的结构性质，矩阵多项式可逆性的判定总结，以及矩阵多项式的迹的两点注记。其中至于已有的结论则不予证明或给出另一种证明方法，并且本文也给出几个重要的结论。
关键词:矩阵多项式 单代数扩域 环 最小多项式 特征多项式
0引言
定义1：设P是复数域C的一个子域，记P[x]表示在P上关于x的所有多项式全体，记 (f(x))表示f(x)的次数，记(f(x),g(x))表示f(x)与g(x)的最大公因子(其中
f(x),g(x )
P[)x。符号“]
”表示证明结束。
定义2：记Mn(P)表示P上n n阶矩阵构成的矩阵集合。取A Mn(P)，记gA(x)为A的最小多项式（其次数m n），记
n
fA(x)
ax
i
i 0
i
(an 1)为A的特征多项式。E表示Mn(P)
的单位矩阵。记Dmn(P)为Mn(P)中一切数量矩阵的集合，即Dmn(P) {aE|a P}。|f(A)|表示矩阵f(A)的行列式值。
k
k
ii
k
定义3：A Mn(P),g(x)
ax,a
i 0
0
则g(A)
aA,称为A的多项式，显然A若
ii
i 0
为m n,(m n)矩阵，则g(A)无意义。记P(A) {f(A)|f(x) P[x]}，则Dmn(P) P(A)，故P(A)有无限多个元素。
定义4：记Dn[x]表示以Dmn(P)中元素为系数关于x的所有多项式全体。记dmp(A)
{M(A)|M(x) Dn[x]}。
下面一切符号从上，除非有特别说明
本文第一部分主要探讨P(A)代数结构和空间结构,第二部分从另一角度推导矩阵多项式可逆性的判定定理同时也给出本人的一个新判定定理,第三部分则解决了文[10]中的两个未解决问题
1有关P(A)结构性质探讨