高等代数论文
从定理1.1取可以看出：
引理1.7:取g(A) P(A),则可假定 (g(x)) m，设h(x) 由带余除法性质，可记
m 1
bx则按定理1.1乘法法则，
ii
i 0i
m 1
g(A)h(A)
(b
i
i 0
, bm 1)A
，
其中 i(b1, bn)
ab，a的值由g(x)的系数和A的最小多项式决定的已知值.
ii
i
m 1
i 0m 1
由引理1.7知：令 i(b0, bm 1)Ai 0，则可得关于b0, bm 1的齐次线性方程组：
i 0
0(b0, bm 1) 0
(Ⅰ)
(b, b) 0
m 1 m 10
m 1
令 i(b0, bm 1)Ai E，则可得关于b0, bm 1的非齐次线性方程组:
i 0
0(b0, bm 1) 0
(Ⅱ)
(b, b) 1
m 1 m 10
引理1.8：当 (gA(x)) 2，则P(A)中存在非零奇异阵，并且任何非零不可逆阵就是
P(A)中零因子。
证明：先证命题前半部分： (gA(x)) 2，知A aE,a P，若A 0，命题已成立。若A 0，显然A的特征值非零，取A的一个特征值 ，令f(x) x ,则0为f(A)特征根，故f(A) 0，但f(A) 0，否则与 (gA(x)) 2发生矛盾。由此可见f(A)就是P(A)中要找的一个非零奇异阵。
m 1
下证命题后半部分：在引理1.7中令： i(b0, bm 1)Ai 0，g(A) 0,g(A) 0，记
i 0
方程(Ⅰ)的系数阵为B.则B 0。
m 1
不然B 0，在引理1.7中令 i(b0, bm 1)Ai E，则方程(Ⅱ)有唯一的非零解。
i 0
从而有h(A)使得g(A)h(A) E，这与g(A)不可逆矛盾。
由B 0，知方程(Ⅰ)有非零解，从而有h(A) 0满足g(A)h(A) 0。 这说明了任何非零不可逆阵就是P(A)中零因子。 推论1：f(A)是P(A)中零因子 f(A)是非零奇异。 由引理1.6及1.7，立即可得：
定理1.3： (gA(x)) 1 P(A)是一个域； (gA(x)) 2 P(A)是有零因子的交换子环。
引理1.8：A可逆 fA(x)（或gA(x)）的常数项不为0。