高等代数论文
J1
1
TAT
J2
i J,J
i
Jn
1
i
1 i
其中Ji是ni阶矩阵，i 1,2, t.那么C(A) P(A)的充分必要条件是当i ≠j 时, i j，即Ji是属于 i有唯一Jordan块。
2矩阵多项式可逆判定与求法总结
文[6]有这样的例子：
例1：已知矩阵A满足：A3 2E,求B A2 2A 2E的逆矩阵 解：设B 1 aA2 bA cE,利用A3 2E 0,可得，
E BB 1 (2a 2b c)A2 (2a 2b 2c)A ( 4a 2b 2c)E
2a 2b c 0
134
解非齐次线性方程组 a b c 0可得a ,b ,c 即得
101010 2a b c 1
1234 1
B A A E
101010
这种解法并不像文[6]所说得需要技巧，它也是带有机械性的，其理论依据就是：
定理2.1：g(A)可逆 方程组(Ⅱ)有唯一解。 （其中g(A)符号从引理1.7） 证明：充分性显然，这里证必要性。
已知g(A)可逆，知方程组(Ⅱ)肯定有解，假设方程组(Ⅱ)有两个解，即存在h(A),j(A)有h(A) j(A)，g(A)h(A) g(A)j(A) E,从而:h(A) j(A) 0，这说明h(A) j(A)为m的最小多项式，其次数小于 (gA(A)) m这是一个矛盾同，故方程组只有唯一解。
定理2.1说明：只要用初等算术及带余除法即可解决这类问题，当然计算会比较繁琐些！
例1中设B 1 aA2 bA cE的依据是：A的最小多项式为：gA(x) x3 2，而B表为A的多项式的次数应小于 (gA(x))。
应该指出的是，在例1中如果只知道A的零化多项式，而且不知最小多项式，那么也可以按例子1的方法来设，只不过其次数要小于零化多项式的次数，同时也得到方程组(Ⅰ)，但这时方程组的解不唯一。
下面给出从矩阵秩的角度推导出矩阵多项式可逆判定，而不用特征值性质进行推导： 定理2.2： 记f(x),g(x) P[x]， d(x) (f(x),g(x))，且f(A) 0则