高等代数论文
trf(AB) f(trAtrB) trf(A)f(B) f(trA)f(trB)
命题3.7： A ,f(x)
n
x，若tr(A) 1，则有：
k
k 0
m
1
1 (A)
limtrf(A)
m
11 trA
命题3.8: A n，若数列{ak}有界，则当 (A) 1时，级数 aktrAk绝对收敛。
k 0
命题3.9： Ak n(k 1,2, ,m),f(x) R [x],有
m
tr( (f(Ak))
i 1m
2
m
tr f(Ak)
i 1
i 1
tr(f(Ak))tr(f(Ak)
2
命题3.10： A n及f(x) amxm,am 0或a2x2 a1x a0 R [x]有
trf(A)trf (A)
f(trA)f (trA)
（Ⅲ）
其中f (x)表示f(x)的导函数。 文[10]中提出两个问题：
“问题1：命题3.10是否对于 f(x) R [x]均成立？ 问题2： Ak n(k 1,2, ,m),及f(x) R [x],是否有：
m
tr( f(Ak))
i 1m
2
m
（或 ）
i 1
tr((f(Ak))trf(Ak)
2
（Ⅳ）
tr f(Ak)
i 1
其中 表示同类因子乘积。”本文指出两个命题均不成立。首先给出下面引理： 引理3.1：tr( f(A) g(A)) tr(f (A)) tr(g (A))。 证明：由矩阵多项式定义与多项式导数关系可知这是显然的。
引理3.2： A n,n 1有： k N,k 1,trAk (trA)k.从而当f(x) R [x]且
(f(x)) 1时，有：trf(A) f(trA)
n
n
k
i
证明：设A的特征根为 1, 2 n 0,则trA
k
n
ki
n
i 1
,(trA) ( i)
i 0
kk
显然,当
n 1, i 0,i 1 n时，有 ( i)k
i 1
i 0
，故trAk (trA)k。
当f(x) R [x]，且 (f(x)) 1时，由命题3.1及trAk (trA)k知
trf(A) f(trA)
a eb
c ed
引理3.3： b,d,a,c, 0:
ab
cd
，b d，则 e 0: