高等代数论文(4)

高等代数论文

引理1.9：设A Mn(P),对任意f(x) P[x],若f(A)可逆,则f 1(A) P(A)（这是文[4]最早得出，本文这里给出另外简单证法。）

证明：由引理1.8，可记gf(A)(x)

x

1

m

m

ax

i

i 0

i

(an 1,a0 0),则有

a0

i 1

aix(an 1,a0 0),令h(x)

i 1

1

m

a0

i 1

aixi 1(am 1,a0 0),

注意到：gf(A)(f(A)) 0，即知h(f(A))即为f(A)的逆。

推论1：数域P上的n阶r 循环阵的逆也是r 循环阵（分析见文[4]）

推论2：若A可逆，则A的逆矩阵A 1和A的伴随矩阵A*都属于P(A)，并且记：

n

fA(x)

a

i

i 0

i

(an 1)，则A

1

1

n

a0

aA

i

i 1

i 1

n

(an 1)，A ( 1)

*

n 1

aA

i

i 1

i 1

(an 1)。

（此结论最早在[2]中给出，至于后半部分证明可见文[2]，显然A 1和A*也可由gA(x)的系数表出）

由推论2本文可进一步指出： 推论3：A* P(A)。

证明：令A( ) A E，则存在 使A( )可逆，记A( )的特征多项式为：

n

n

i

i

fA( )(x)

a( )

i 0

(an( ) 1)且fA(x)

a

i

i 0

i

(an 1)

显然 =0时ai( ) ai，i n

n

由引理2知：A( ) ( 1)

*

n 1

a( )A

i

i 1

n

i

i 1

i 1

(an( ) 1) （1） (gij( ))n n

记A( ) (fij( ))n n，( 1)

*n 1)

a( )A

i 1

由（1）式知fij( ) gij( ),i,j 1,2, n； （2）

由于fij( )与gij( )都是多项式，且有无穷多个 使（2）式成立，从而（2）式是恒等式，因此（1）式也是恒等式，特别 =0代入（1）式即得

n

A ( 1)

*n 1)

aA

i

i 1

i 1

(an 1)

。

由引理1.9立即可得：

定理1.4：记P*(A) {f(A)|f(A) 0,f(x) P[x]}它关于矩阵乘法构成可交换群。 这里补充一个很有意思的定理，详细证明见文[9]： 记A 的中心化子C(A) {B Mn(P)|AB BA}则有： 定理1.5：J是n阶矩阵A的Jordan标准形