高等代数论文
证明：显然gA(x) x(x 1)，它与kx l互素当且仅当k l,l 0
推论5：Al 0,Al 1 0(l 2,r Z ) ，则h(A)可逆 多项式h(x)常数项不为零。 证明：显然gA(x) xm(m n)，它与h(x)互素当且仅当其常数项不为零。 推论6：A2 E，A E，则kA lE可逆 k l。
证明：显然gA(x) (x 1)(x 1)，它与kx l互素当且仅当k l。
下面对矩阵多项式可逆判定常用结论（按最早提出的时间顺序排列）归纳如下： 令A Mn(P)，f(x),g(x) P[x]， 1, 2, n为A的所有特征值，且f(A) 0则以下命题是相互等价的。
①g(A)可逆
②(gA(x),g(x)) 1 （① ②由文[2]最早给出，在[11]再次提出） ③g( 1)g( 2) g( n) 0（① ③由文[2]最早给出）
④g(x) 0的根与A的特征根互异（① ④由文[4]最早给出，在[8]，[3]再次提出） ⑤(fA(x),g(x)) 1（① ⑤由文[7]最早给出） ⑥(f(x),g(x)) 1（① ⑥由文[6]最早给出）
至于具体证法与求法实例请读者参考相关文献。读者不妨按“① ② ③ ④ ⑤
⑥ ①”顺序证明。从略。
3矩阵多项式的迹的两点注记
本文仅给出文[10]中“两个未解决的问题”的参考答案，首先给出文[10]有关矩阵多项式的迹相关结论，具体证明请见文[10]
按文[10]符号说明： n表示所有n n矩阵集； n表示实对称正定n n矩阵集，R[x]表示系数为实数域R上的多项式集；R [x]表示系数为非负实数域R上的多项式集。
命题3.1： A,B n，f(x),g(x) R[x]及 , R，有：
tr[ f(A) g(B)] trf(A) trg(B)
命题3.2： A n，f(x) R [x]，trf(A) 0且trf(A) 0 f(x) 0 命题3.3： A,B n，f(x),g(x) R[x],有
1
1
trf(A)g(B) [trf(A)f(A)][trg(B)g(B)]2
2
TTT
命题3.4： A,B n，f(x),g(x) R [x],有
trf(A)trg(B) trf(A)trg(B)
命题3.5： A n,f(x) R [x]有
trf(A) f(trA)
命题3.6： A,B n，f(x),g(x) R [x]，有