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玻尔原子理论满意地解释了氢原子和类氢原子的光谱；从理论上算出了里德伯恒量；但是也有一些缺陷。对于解释具有两个以上电子的比较复杂的原子光谱时却遇到了困难，理论推导出来的结论与实验事实出入很大。此外，对谱线的强度、宽度也无能为力；也不能说明原子是如何组成分子、构成液体个固体的。玻尔理论还存在逻辑上的缺点，他把微观粒子看成是遵守经典力学的质点，同时，又给予它们量子化的观念，失败之处在于偶保留了过多的经典物理理论。到本世纪20年代，薛定谔等物理学家在量子观念的基础上建立了量子力学。彻底摒弃了轨道概念，而代之以几率和电子云概念。
例题1：设质子的半径为10m，求质子的密度。如果在宇宙间有一个恒定的密度等于质子的密度。如不从相对论考虑，假定它表面的“第一宇宙速度”达到光速，试计算它的半径是多少。它表面上的“重力加速度”等于多少？（1mol气体的分子数是6 10个；光速
23
15
3 108m/s）；万有引力常数G取为6 10
11
Nm2/kg2。只取一位数做近似计算。
22
g kg2326HH6 10解:2的摩尔质量为2g/mol，2分子的质量为 6 10
2
kg26
6 10∴质子的质量近似为 25411 153193
/ 10 10kg/m2616 45324质子的密度 ρ=6 10=4 6 10 10
设该星体表面的第一宇宙速度为v，由万引力定律，得
mv2mMGM Gv2
rr2，r
4
M r3
3而 4
G r3 v 4Gr2
r∴
v 2
v2
3 108
26 10 11
1
101924
3 104 m
r
4
g GM/y2 G y3 /y2 4yG
3由于“重力速度”
1
g 4 3 104 6 10 11 1019 3 1012m/s2
24∴
【注】万有引力恒量一般取G 6.67 10
11
N m/kg2
例题2：与氢原子相似，可以假设氦的一价正离子（He）与锂的二价正离子（L
外的那一个电子也是绕核作圆周运动。试估算
）核
（1）He、L的第一轨道半径； （2）电离能量、第一激发能量；
（3）赖曼系第一条谱线波长分别与氢原子的上述物理量之比值。
解：在估算时，不考虑原子核的运动所产生的影响，原子核可视为不动，其带电量用+Ze表示，可列出下面的方程组：