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lim
x 0
tanx sinx1tanx sinx1
lim 33x 0x 024xx tanx sinx
lim
1
【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解．．．．．．．．．．．题的关键
4．应用两个重要极限求极限
sinx11
1和lim(1 )x lim(1 )n lim(1 x)x e，第两个重要极限是lim
x 0x n x 0xxn
1
一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。
x 1
例5：求极限lim
x x 1
【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑 数部分。
x 11 2 2 1 2 2 x 1 2 【解】lim lim 1 lim 1 x 1 1 e x x 1x x x 1 x 1
x
x
2
x
1
，最后凑指X
1 x 2a
例6：(1)lim 1 2 ；(2)已知lim 8，求a。
x x
x x a 5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】
(1)常见等价无穷小有：
1 x)~e 1, 当x 0 时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(12b
x, 1 ax 1~abx； 2
(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式； ．．
1 cosx~
x
xx
(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。 ．．．．．
xln(1 x)
x 01 cosxxln(1 x)x x
【解】 lim lim 2.
x 01 cosxx 02
x2
sinx x
例8：求极限lim
x 0tan3x
例7：求极限lim
2
1xsinx xsinx xcosx 11 lim lim lim 【解】lim 322x 0tan3xx 0x 0x 06x3x3x