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6．用罗必塔法则求极限
lncos2x ln(1 sin2x)
例9：求极限lim
x 0x2
0
或型的极限,可通过罗必塔法则来求。 0
2sin2xsin2x
2lncos2x ln(1 sin2x) 【解】lim lim2x 0x 0x2x
【说明】
lim
sin2x 21
3 x 02x cos2x1 sin2x
【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解
例10：设函数f(x)连续，且f(0) 0，求极限lim
x 0
x
(x t)f(t)dt
x0
.
x f(x t)dt
【解】 由于
x
f(x t)dt
x t u0
x
f(u)( du) f(u)du,于是
x
x
x
lim
x 0
x
(x t)f(t)dt
x0
x f(x t)dt
x
lim
x 0
x f(t)dt tf(t)dt
x f(u)du
0x
=lim
x 0
f(t)dt xf(x) xf(x)
x
=lim
x 0
x0
x
f(t)dt
f(u)du xf(x)
x
f(u)du xf(x)
=lim
x 0
f(t)dt
x f(x)
=
x
f(u)du
f(0)1
.
f(0) f(0)2
7．用对数恒等式求limf(x)g(x)极限
2x
例11：极限lim[1 ln(1 x)]
x 0
2x
2
ln[1 ln(1 x)]x
【解】 lim[1 ln(1 x)]=lime
x 0
x 0
=e
x 0
lim
2ln[1 ln(1 x)]
x
e
x 0
lim
2ln(1 x)
x
e2.
【注】对于1 型未定式limf(x)g(x)的极限，也可用公式
limf(x)g(x)(1 )=elim(f(x) 1)g(x)