yP)，
x＝x，??P
由已知得? 5
y＝y，??P4
5?2
∵P在圆上，∴x2＋??4y?＝25， x2y2
即C的方程为＋＝1.
2516
44
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，
55设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 4
将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得
5
2
x2?x－3?＋＝1，即x2－3x－8＝0. 2525
3－413＋41∴x1＝，x2＝.
22∴线段AB的长度为 |AB|＝?x1－x2?2＋?y1－y2?2＝
课标数学18.H8，H10[2011·江苏卷]
?1＋16??x1－x2?2＝
?25?4141×41＝. 255
图1－5
x2y2
如图1－5，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆＋＝1的顶点，过坐标原
42点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.
(1)若直线PA平分线段MN，求k的值； (2)当k＝2时，求点P到直线AB的距离d； (3)对任意的k>0，求证：PA⊥PB.
课标数学18.H8，H10[2011·江苏卷] 本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．
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图1－6
【解答】 (1)由题设知，a＝2，b＝2，故M(－2,0)，N(0，－2)，所以线段MN中点的坐标为?－1，－?
2?
.由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA2?
2－22
过坐标原点，所以k＝＝. 2－1
(2)直线PA的方程为y＝2x，代入椭圆方程得 x24x22
＋＝1，解得x＝±， 42324?24
，，A?－，－?. 因此P?3??33??3
4
0＋32?
，0，直线AC的斜率为于是C?＝1， ?3?22
＋332
故直线AB的方程为x－y－＝0.
3
因此，d＝
?2－4－2?
?333?22
12＋12＝3
.
(3)解法一：
x2y2
将直线PA的方程y＝kx代入＋＝1，
42解得x＝±记μ＝2
. 1＋2k22
，则P(μ，μk)，A(－μ，－μk)， 1＋2k20＋μkk
于是C(μ，0)，故直线AB的斜率为＝，
μ＋μ2k
其方程为y＝(x－μ)，
2
代入椭圆方程得(2＋k2)x2－2μk2x－μ2(3k2＋2)＝0， μ?3k2＋2?
解得x＝或x＝－μ，
2＋k2?μ?3k＋2?，μk?. 因此B?2＋k2??2＋k2?
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23
μk3
－μk2＋k2k3－k?2＋k2?1
于是直线PB的斜率k1＝＝222＝－. kμ?3k＋2?3k＋2－?2＋k?
－μ
2＋k2因此k1k＝－1，所以PA⊥PB. 解法二：
设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＞0，x2＞0，x1≠x2，A(－x1，－y1)，C(x1,0)，设直线PB，0－?－y1?y1k
AB的斜率分别为k1，k2，因为C在直线AB上，所以k2＝＝＝，从而k1k＋1
x1－?－x1?2x12y2－y1y2－?－y1?
＝2k1k2＋1＝2··＋1
x2－x1x2－?－x1?
2222
2y2?x24－42－2y12＋2y2?－?x1＋2y1?＝22＋1＝＝22＝0. x2－x1x2x22－x12－x1
因此k1k＝－1，所以PA⊥PB.
课标理数18.H8[2011·天津卷] 在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(a>b>0)为动点，x2y2
F1，F2分别为椭圆2＋2＝1的左、右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．
ab
(1)求椭圆的离心率e；
→→
(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足AM·BM＝－2，求点M的轨迹方程．
课标理数18.H8[2011·天津卷] 【解答】 (1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．由题意，可得|PF2|＝|F1F2|，
c?2c即?a－c?2＋b2＝2c.整理得2??a?＋a－1＝0. cc11得＝－1(舍)，或＝.所以e＝. aa22
(2)由(1)知a＝2c，b＝3c.可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2方程为y＝3(x－c)．
?3x＋4y＝12c，A，B两点的坐标满足方程组?
?y＝3?x－c?.
8
消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1＝0，x2＝c，
5
222
?x1＝0，
得方程组的解?
?y1＝－3c，
?x＝5c，?33?y＝5c.
22
8
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833?
不妨设A?c，c，B(0，－3c)．
5??5
833?→→
设点M的坐标为(x，y)，则AM＝?x－c，y－c，BM＝(x，y＋3c).
5??5由y＝3(x－c)，得c＝x－
3
y. 3
833833?→→→→
于是AM＝?BM＝－2， y－x，y－x，BM＝(x，3x)．由AM·
555??15即?
833?833?x＋?y－y－x·x·3x＝－2， 5?5??15?5
化简得18x2－163xy－15＝0.
18x2－1510x2＋53
将y＝代入c＝x－y，得c＝>0.所以x>0.
316x163x因此，点M的轨迹方程是18x2－163xy－15＝0(x>0)．
x2y2
课标文数6.H8[2011·天津卷] 已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y2＝
ab2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )
A．23 B．25 C．43 D．45
x2y2b
课标文数6.H8[2011·天津卷] B 【解析】 双曲线2－2＝1的渐近线为y＝±x，由双
abapp
曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)得－＝－2，即p＝4.又∵＋a
22b
＝4，∴a＝2，将(－2，－1)代入y＝x得b＝1，
a
∴c＝a2＋b2＝4＋1＝5，∴2c＝25.
x2y2
课标文数18.H8[2011·天津卷] 设椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点
abP(a，b)满足|PF2|＝|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝16相交于5
M，N两点，且|MN|＝|AB|，求椭圆的方程．
8
课标文数18.H8[2011·天津卷] 【解答】 (1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，因为|PF2|＝|F1F2|，c?2ccc11所以?a－c?2＋b2＝2c，整理得2?＋－1＝0，得＝－1(舍)，或＝，所以e＝. ?a?aaa22
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(2)由(1)知a＝2c，b＝3c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝3(x－c)．
?3x＋4y＝12c，
A，B两点的坐标满足方程组?消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1
?y＝3?x－c?，?x1＝0，8
＝0，x2＝c.得方程组的解?5?y1＝－3c，
222
?
?33?y＝5c.
2
8x2＝c，
5
833?
不妨设A?c，B(0，－3c)，c，
5??5
所以|AB|＝
?8c?2＋?33c＋3c?2＝16c.
?5??5?5
5
于是|MN|＝|AB|＝2c.
8
|－3－3－3c|3|2＋c|
圆心(－1，3)到直线PF2的距离d＝＝. 22
|MN|?22326222
因为d2＋?＝4，所以(2＋c)＋c＝16，整理得7c＋12c－52＝0.得c＝－(舍)，?2?47或c＝2.
x2y2
所以椭圆方程为＋＝1.
1612
2
x2y22y课标理数8.H8[2011·浙江卷] 已知椭圆C1：2＋2＝1(a>b>0)与双曲线C2：x－＝1有ab4
公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A、B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则( )
13
A．a2＝ B．a2＝13
21
C．b2＝ D．b2＝2
2
y2
课标理数8.H8[2011·浙江卷] C 【解析】 由双曲线x－＝1知渐近线方程为y＝±2x，
4
2
又∵椭圆与双曲线有公共焦点，
22
∴椭圆方程可化为b2x2＋(b＋5)y2＝(b＋5)b2，
联立直线与椭圆方程消y得，x2＝又∵C1将线段AB三等分， ∴1＋22×2
(b2＋5)b2
5b2＋20
. (b2＋5)b2
22a＝， 35b＋20
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