A．(－2，－9) B．(0，－5) C．(2，－9) D．(1，－6)
大纲文数11.H7[2011·四川卷] A 【解析】 根据题意可知横坐标为－4,2的两点分别为(－4,11－4a)，(2，－1＋2a)，所以该割线的斜率为a－2，由y′＝2x＋a＝a－2?x＝－1，即有切点为(－1，－4－a)，所以切线方程为y＋4＋a＝(a－2)(x＋1)?(a－2)x－y－6＝0，由切线与圆相切可知6
＝
?a－2?2＋1
36
?a＝4或a＝0(舍去)，所以抛物线方程为y＝x2＋4x5
－5＝(x＋2)2－9，所以抛物线顶点坐标为(－2，－9)．选择A.
大纲理数10.H7[2011·四川卷] 在抛物线y＝x2＋ax－5(a≠0)上取横坐标为x1＝－4，x2
＝2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2＋5y2＝36相切，则抛物线顶点的坐标为( )
A．(－2，－9) B．(0，－5) C．(2，－9) D．(1，－6)
大纲理数10.H7[2011·四川卷] A 【解析】 根据题意可知横坐标为－4,2的两点分别为(－4,11－4a)，(2，－1＋2a)，所以该割线的斜率为a－2，由y′＝2x＋a＝a－2?x＝－1，即有切点为(－1，－4－a)，所以切线方程为y＋4＋a＝(a－2)(x＋1)?(a－2)x－y－6＝0，由切线与圆相切可知6
＝
?a－2?2＋1
36?a＝4或a＝0(舍去)，所以抛物线方程为y＝x2＋4x5
－5＝(x＋2)2－9，所以抛物线顶点坐标为(－2，－9)．选择A.
课标理数21.H7[2011·浙江卷] 已知抛物线C1：x2＝y，圆C2：x2＋(y－4)2＝1的圆心为点M.
(1)求点M到抛物线C1的准线的距离；
(2)已知点P是抛物线C1上一点(异于原点)，过点P作圆C2
图1－8
的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程．
1课标理数21.H7[2011·浙江卷] 【解答】 (1)由题意可知，抛物线的准线方程为：y＝－，
4
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17
所以圆心M(0,4)到准线的距离是.
4
22
(2)设P(x0，x21，x1≠x2. 0)，A(x1，x1)，B(x2，x2)，由题意得x0≠0，x0≠±
设过点P的圆C2的切线方程为y－x20＝k(x－x0)， 即y＝kx－kx0＋x20. ① 则
2
|kx0＋4－x0|
1＋k2＝1.
222即(x0－1)k2＋2x0(4－x20)k＋(x0－4)－1＝0.
设PA，PB的斜率为k1，k2(k1≠k2)，则k1，k2是上述方程的两根，所以
2
2x0?x2?x20－4?0－4?－1
k1＋k2＝2，k1k2＝.
x0－1x20－1
将①代入y＝x2得x2－kx＋kx0－x20＝0，
由于x0是此方程的根，故x1＝k1－x0，x2＝k2－x0，所以
2
x1－x22x0?x220－4?kAB＝＝x1＋x2＝k1＋k2－2x0＝2－2x0，
x1－x2x0－12x0－4kMP＝.
x0
?2x0?x0－4?－2x?·?x0－4?＝－1，解得x2＝23， 由MP⊥AB，得kAB·kMP＝?20?0
5?x0－1??x0?即点P的坐标为?±22
?
31152323?
，，所以直线l的方程为y＝±115x＋4. 55?
图1－8
课标文数22.H7[2011·浙江卷] 如图1－8，设P是抛物线C1：x2＝y上的动点．过点P做圆C2：x2＋(y＋3)2＝1的两条切线，交直线l：y＝－3于A，B两点．
(1)求圆C2的圆心M到抛物线C1准线的距离；
(2)是否存在点P，使线段AB被抛物线C1在点P处的切线平分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
1课标文数22.H7[2011·浙江卷] 【解答】 (1)因为抛物线C1的准线方程为y＝－，
4111－－?－3??＝. 所以圆心M到抛物线C1准线的距离为??4?4
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(2)设点P的坐标为(x0，x20)，抛物线C1在点P处的切线交直线l于点D， 再设A，B，D的横坐标分别为xA，xB，xD， 过点P(x0，x20)的抛物线C1的切线方程为： y－x20＝2x0(x－x0)．①
当x0＝1时，过点P(1,1)与圆C2的切线PA为：y－1＝17
可得xA＝－，xB＝1，xD＝－1，xA＋xB≠2xD.
15
15
当x0＝－1时，过点P(－1,1)与圆C2的切线PB为：y－1＝－(x＋1)．
8可得xA＝－1，xB＝所以x20－1≠0.
设切线PA，PB的斜率为k1，k2，则 PA：y－x20＝k1(x－x0)，② PB：y－x20＝k2(x－x0)．③ 将y＝－3分别代入①，②，③得
x2x2x20－30＋30＋3xD＝(x0≠0)；xA＝x0－；xB＝x0－(k1，k2≠0)．
2x0k1k211??从而xA＋xB＝2x0－(x2＋3)0
?k＋k?.
1
2
15
(x－1)， 8
17
，x＝1，xA＋xB≠2xD. 15D
|－x0k1＋x20＋3|又＝1， 2k1＋1
2222
即(x0－1)k21－2(x0＋3)x0k1＋(x0＋3)－1＝0. 2222同理，(x0－1)k22－2(x0＋3)x0k2＋(x0＋3)－1＝0.
222所以k1，k2是方程(x0－1)k2－2(x20＋3)x0k＋(x0＋3)－1＝0的两个不相等的根，从而 22
2?3＋x2?3＋x0?－10?x0
k1＋k2＝2，k1·k2＝. 2x0－1x0－1
因为xA＋xB＝2xD， 所以
2
2x0－(3＋x0)
2
11x?＋?＝0－3， ?k1k2?x0
22?3＋x0?x01111
即＋＝.从而2＝， 2k1k2x0?x0＋3?－1x0
4进而得x40＝8，x0＝±8.
4
综上所述，存在点P满足题意，点P的坐标为(±8，22)．
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x2y26课标文数19.H8[2011·北京卷] 已知椭圆G：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点
ab3为(22，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．
(1)求椭圆G的方程； (2)求△PAB的面积．
c6
课标文数19.H8[2011·北京卷] 【解答】 (1)由已知得，c＝22，＝.
a3解得a＝23. 又b2＝a2－c2＝4，
x2y2
所以椭圆G的方程为＋＝1.
124(2)设直线l的方程为y＝x＋m. y＝x＋m，??22由?xy得
＋＝1??1244x2＋6mx＋3m2－12＝0.①
设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1 4 因为AB是等腰△PAB的底边， 所以PE⊥AB. m2－ 4 所以PE的斜率k＝＝－1. 3m－3＋ 4解得m＝2. 此时方程①为4x2＋12x＝0. 解得x1＝－3，x2＝0.所以y1＝－1，y2＝2. 所以|AB|＝32. |－3－2＋2|32 此时，点P(－3,2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝＝， 2219 所以△PAB的面积S＝|AB|·d＝. 22 第 34 页 共 86 页 大纲理数10.H8[2011·全国卷] 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝( ) 43A. B. 5534C．－ D．－ 55 大纲理数10.H8[2011·全国卷] D 【解析】 法一：联立直线与抛物线的方程得x2－5x＋4＝0，∴x＝1或4，得A(1，－2)，B(4,4)，则|AF|＝2，|BF|＝5，|AB|＝35，由余弦定理4 得cos∠AFB＝－，故选D. 5 ?y＝2x－4，? 法二：联立方程?2解得x＝1或x＝4，所以交点坐标分别为A(1，－2)，B(4,4)， ?y＝4x，? →→ －8FA·FB4→→ 又F(1,0)，∴FB＝(3,4)，FA＝(0，－2)，所以cos∠AFB＝＝＝－. 5→→5×2 |FA||FB| y2 大纲理数21.H8，H10[2011·全国卷] 已知O为坐标原点，F为椭圆C：x＋＝1在y 2 2 →→ 轴正半轴上的焦点，过F且斜率为－2的直线l与C交于A、B两点，点P满足OA＋OB＋→ OP＝0. (1)证明：点P在C上； (2)设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上． 图1－4 大纲理数21.H8，H10[2011·全国卷] 【解答】 (1)证明：F(0,1)，l的方程为y＝－2xy2 ＋1，代入x＋＝1并化简得 2 2 4x2－22x－1＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)， 则x1＝x1＋x2＝ 2－62＋6 ，x2＝， 44 2 ，y1＋y2＝－2(x1＋x2)＋2＝1， 2 第 35 页 共 86 页