??y＝k1x－1，
y＝k1x－1，由?解得 2
?y＝x－1????x＝0，?x＝k1，
?或? 2?y＝－1???y＝k1－1.
则点A的坐标为(k1，k21－1)．
111
－，2－1?. 又直线MB的斜率为－，同理可得点B的坐标为??k1k1?k1
2
111?1?1＋k12－＝于是S1＝|MA|·|MB|＝1＋k1·|k1|·1＋2·. 22k1?k1?2|k1|
??y＝k1x－1，22
由?2得(1＋4k1)x－8k1x＝0. 2
?x＋4y－4＝0?
??x＝0，解得?或
?y＝－1?
??
?4k－1??y＝1＋4k.
2
1
21
8k1x＝，1＋4k21
?8k1，4k1－1?.[来源:学科网ZXXK]
则点D的坐标为?2??1＋4k211＋4k1?
－8k14－k211??又直线ME的斜率为－，同理可得点E的坐标为??. 2，k1?4＋k14＋k21?32?1＋k2|k1|11?·
于是S2＝|MD|·|ME|＝. 222?1＋4k1??k1＋4?4S11?4k2因此＝?1＋2＋17. k1?S264?41?174k2＋2＋17＝， 由题意知，?1
k1?3264?
21解得k21＝4，或k1＝. 4
2
1
k2－1
k211
又由点A，B的坐标可知，k＝＝k1－，
1k1k1＋
k13
所以k＝±.
2
33
故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为y＝x和y＝－x.
22
课标文数21.H7，H8[2011·湖南卷] 已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
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(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2
→→
与轨迹C相交于点D，E，求AD·EB的最小值．
课标文数21.H7，H8[2011·湖南卷] 【解答】 设动点P的坐标为(x，y)，由题意有?x－1?2＋y2－|x|＝1. 化简得y2＝2x＋2|x|.
当x≥0时，y2＝4x；当x<0时，y＝0.
所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x<0)． (2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k， 则l1的方程为y＝k(x－1)．
??y＝k?x－1?，
由?2得 ??y＝4x
k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
4
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝2＋2，x1x2＝
k1.
1
因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－.
k设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得 x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1. →→→→→→故AD·EB＝(AF＋FD)·(EF＋FB) →→→→→→→→＝AF·EF＋AF·FB＋FD·EF＋FD·FB →→→→＝|AF|·|FB|＋|FD|·|EF|
＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1) ＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1 4
2＋2?＋1＋1＋(2＋4k2)＋1 ＝1＋??k?1
k2＋2?≥8＋4×2＝8＋4?k??
1k2·2＝16. k
1→→
当且仅当k2＝2，即k＝±1时，AD·EB取最小值16.
k
图1－7
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x2y2
课标理数20.H8[2011·江西卷] P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：2－2＝1(a>0，b>0)上一点，
ab1
M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为. 5
(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A、B两点，O为坐标原点，C为→→→
双曲线上一点，满足OC＝λOA＋OB，求λ的值．
x2y2
课标理数20.H8[2011·江西卷] 【解答】 (1)点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线2－2＝1上，
ab
2x0y20有2－2＝1， ab
y0y01c30
由题意又有·＝，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，则e＝＝.
a5x0－ax0＋a5
222
??x－5y＝5b，
(2)联立?得4x2－10cx＋35b2＝0，
?y＝x－c?
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
?则?35b
xx＝.?4
2
12
5cx1＋x2＝，2
①
??x3＝λx1＋x2，→→→→
设OC＝(x3，y3)，OC＝λOA＋OB，即?
?y3＝λy1＋y2，?
22
又C为双曲线上一点，即x23－5y3＝5b，
有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2，
2222化简得：λ2(x21－5y1)＋(x2－5y2)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b.
又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，
22222所以x21－5y1＝5b，x2－5y2＝5b.②
由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2， 得：λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.
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图1－10
如图1－10，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2
的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.
1
(1)设e＝，求|BC|与|AD|的比值；
2
(2)当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．
课标理数20.H8[2011·辽宁卷] 【解答】 (1)因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设 x2y2b2y2x2
C1：2＋2＝1，C2：4＋2＝1，(a＞b＞0)．
abaa
设直线l：x＝t(|t|＜a)，分别与C1，C2的方程联立，求得 ab
t，a2－t2?，B?t，a2－t2?. A??b??a?
132|yB|b23当e＝时，b＝a，分别用yA，yB表示A，B的纵坐标，可知|BC|∶|AD|＝＝＝. 222|yA|a24(2)t＝0时的l不符合题意，t≠0时，BO∥AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN
相等，即
b22a22a－ta－tab
＝， tt－a1－e2ab2
解得t＝－22＝－2·a.
ea－b
1－e22
因为|t|＜a，又0＜e＜1，所以2＜1，解得＜e＜1.
e2所以当0＜e≤当
课标文数21.H8[2011·辽宁卷]
2
时，不存在直线l，使得BO∥AN； 2
2
＜e＜1时，存在直线l，使得BO∥AN. 2
图1－9
如图1－9，已知椭圆C1的中点在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2
的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e.直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，
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这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.
1
(1)设e＝，求|BC|与|AD|的比值；
2
(2)当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．
课标文数21.H8[2011·辽宁卷] 【解答】 (1)因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设 x2y2b2y2x2
C1：2＋2＝1，C2：4＋2＝1，(a＞b＞0)．
abaa
设直线l：x＝t(|t|＜a)，分别与C1，C2的方程联立，求得 ab
t，a2－t2?，B?t，a2－t2?. A??b??a?
13
当e＝时，b＝a，分别用yA，yB表示A，B的纵坐标，可知
222|yB|b23|BC|∶|AD|＝＝＝. 2|yA|a24
(2)t＝0时的l不符合题意．t≠0时，BO∥AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN
相等，即
b22a22a－ta－tab
＝， tt－a1－e2ab2
解得t＝－22＝－2·a.
ea－b
1－e22
因为|t|＜a，又0＜e＜1，所以2＜1，解得＜e＜1.
e2所以当0＜e≤当
2
时，不存在直线l，使得BO∥AN； 2
2
＜e＜1时，存在直线l，使得BO∥AN. 2
课标理数17.H5，H8[2011·陕西卷]
图1－8
如图1－8，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一4
点，且|MD|＝|PD|.
5
(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程； 4
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．
5
课标理数17.H5，H8[2011·陕西卷] 【解答】 (1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，
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