(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组[来源:学&科&网]
??x－y＋a＝0，? 22??x－3?＋?y－1?＝9.?
消去y，得到方程
2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.
由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2>0.从而 a2－2a＋1x1＋x2＝4－a，x1x2＝.①
2由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0. 又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以 2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②
由①，②得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1.
大纲文数13.H4[2011·重庆卷] 过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得的弦长为2，则该直线的方程为________．
大纲文数13.H4[2011·重庆卷] 2x－y＝0 【解析】 将圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0配方得(x－1)2＋(y－2)2＝1，
∴该圆半径为1，圆心M(1,2)．
∵直线与圆相交所得弦的长为2，即为该圆的直径， 2－0∴该直线的方程的斜率k＝＝2，
1－0∴该直线的方程为y＝2x，即2x－y＝0.
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课标文数17.H2，H5[2011·安徽卷] 设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.
(1)证明l1与l2相交；
(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．
课标文数17.H2，H5[2011·安徽卷] 本题考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识．考查推理论证能力和运算求解能力．
【解答】 (1)反证法：假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1＝k2，代入k1k2＋2＝0，得k21＋2＝0.
此与k1为实数的事实相矛盾，从而k1≠k2，即l1与l2相交．
??y＝k1x＋1，(2)(方法一)由方程组?
?y＝kx－1，?2
??
解得交点P的坐标(x，y)为?k＋k
y＝??k－k，2
12
1
2x＝，k2－k1
2?k2＋k1?2
而2x2＋y2＝2?k－k?2＋??21??k2－k1??
222
8＋k22＋k1＋2k1k2k1＋k2＋4＝22＝22＝1.
k2＋k1－2k1k2k1＋k2＋4
此即表明交点P(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1上．
??y－1＝k1x，(方法二)交点P的坐标(x，y)满足?
?y＋1＝k2x，?
1，?k＝y－x
故知x≠0，从而?y＋1
k＝?x.12
y－1y＋1
代入k1k2＋2＝0，得·＋2＝0.
xx整理后，得2x2＋y2＝1，
所以交点P在椭圆2x2＋y2＝1上．
课标理数7.H5，H6[2011·福建卷] 设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )
132
A.或 B.或2 223
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123C.或2 D.或 232
课标理数7.H5，H6[2011·福建卷] A 【解析】 设|F1F2|＝2c(c>0)，由已知|PF1|∶|F1F2|∶84
|PF2|＝4∶3∶2，得|PF1|＝c，|PF2|＝c，且|PF1|>|PF2|，
33
c1
若圆锥曲线Γ为椭圆，则2a＝|PF1|＋|PF2|＝4c，离心率e＝＝；
a2
4c3
若圆锥曲线Γ为双曲线，则2a＝|PF1|－|PF2|＝c，离心率e＝＝，故选A.
3a2
课标文数11.H5，H6[2011·福建卷] 设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2，若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )
132
A.或 B.或2 223123C.或2 D.或 232
课标文数11.H5，H6[2011·福建卷] A 【解析】 设|F1F2|＝2c(c>0)，由已知|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，得
84
|PF1|＝c，|PF2|＝c，且|PF1|>|PF2|，
33
c1若圆锥曲线Γ为椭圆，则2a＝|PF1|＋|PF2|＝4c，离心率e＝＝；
a2
4c3
若圆锥曲线Γ为双曲线，则2a＝|PF1|－|PF2|＝c，离心率e＝＝，故选A.
3a2
x2y2
课标理数21.H5，H7，H8[2011·湖南卷] 如图1－9，椭圆C1：2＋2＝1(a>b>0)的离心
ab率为
3
，x轴被曲线C2：y＝x2－b截得的线段长等于C1的长半轴长． 2
(1)求C1，C2的方程；
(2)设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.
①证明：MD⊥ME；
S117
②记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2.问：是否存在直线l，使得＝？请说明理
S232由．
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图1－10
c3
课标理数21.H5，H7，H8[2011·湖南卷] 【解答】 (1)由题意知，e＝＝，从而a＝
a22b.又2b＝a，解得a＝2，b＝1.
x22
故C1，C2的方程分别为＋y＝1，y＝x2－1.
4
(2)①由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＝kx.
??y＝kx，由?得x2－kx－1＝0. 2
?y＝x－1?
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是上述方程的两个实根， 于是x1＋x2＝k，x1x2＝－1. 又点M的坐标为(0，－1)，所以 kMA·kMB＝
y1＋1y2＋1?kx1＋1??kx2＋1?
·＝ x1x2x1x2
k2x1x2＋k?x1＋x2?＋1
＝
x1x2－k2＋k2＋1＝＝－1.
－1故MA⊥MB，即MD⊥ME.
②设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为
?y＝k1x－1，?
y＝k1x－1，由?解得 2
?y＝x－1????x＝0，?x＝k1，
?或? 2?y＝－1???y＝k1－1.
则点A的坐标为(k1，k21－1)．
111
－，2－1?. 又直线MB的斜率为－，同理可得点B的坐标为??k1k1?k1
2
111?1?1＋k12－＝于是S1＝|MA|·|MB|＝1＋k1·|k1|·1＋2·. 22k1?k1?2|k1|
??y＝k1x－1，22
由?2得(1＋4k1)x－8k1x＝0. 2
?x＋4y－4＝0?
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?x＝0，?解得?或
?y＝－1?
??
?4k－1??y＝1＋4k.
2
1
21
8k1
x＝，1＋4k21
?8k1，4k1－1?.
则点D的坐标为?2??1＋4k211＋4k1?
－8k14－k211??又直线ME的斜率为－，同理可得点E的坐标为??. 2，k1?4＋k14＋k21?32?1＋k2|k1|11?·
于是S2＝|MD|·|ME|＝. 222?1＋4k1??k1＋4?4S11?4k2＋2＋17. 因此＝??S264?1k1
41?174k2由题意知，?1＋2＋17＝， k1?3264?
21解得k21＝4，或k1＝. 4
2
1
k2－1
k211
又由点A，B的坐标可知，k＝＝k1－，
1k1k1＋
k13
所以k＝±.
2
33
故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为y＝x和y＝－x.
22
1x2y2
1，?作圆x2＋课标理数14.H5[2011·江西卷] 若椭圆2＋2＝1的焦点在x轴上，过点??2?aby2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．
x2y2
课标理数14.H5[2011·江西卷] 【答案】 ＋＝1
54
11
1，?与圆x2＋y2＝1的圆心的直线方程为y＝x，由垂径定理【解析】 由题可知过点??2?2可得kAB＝－2.
1
1，?的一条切线为直线x＝1，此时切点记为A(1,0)，即为椭圆的右焦点，故显然过点??2?c＝1.
由点斜式可得，直线AB的方程为y＝－2(x－1)， 即AB：2x＋y－2＝0.
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