∴S四边形BDEF?S梯形AEDB-S?AEF?
②当EF=AE时，如图（3），
212517-?（也可用S阴影?S?A'EF-S?A'BD）
488
此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积.
∠DEF=∠EFA=45°， DE∥AB ， 又DB∥EA ∴四边形DEAB是平行四边形 ∴AE=DB=2 ∴S?A'EF?S?AEF?1AE?EF 2S?A/EF?1?(2)2?1 2③当AF=AE时，如图（4），四边形AEA’F为菱形且△A’EF在五边形OEFBC内. ∴此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积.
由（2）知△ODE∽△AEF,则OD=OE=3 ∴AE=AF=OA-OE=42?3 过F作FH⊥AE于H,则
FH?AF?sin45??42?3???232?4? 22∴S?A'EF?S?AEF?1132?412-48????AE?FH??42-3??4-
?2224????综上所述，△A’EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为
17412-48或1或 84
16．（2018湖北省咸宁）如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，?DAB?90?，AD?2DC?4，AB?6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．
（1）当t?0.5时，求线段QM的长；
（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；
CQ（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究是否为定值，若是，试求这
RQ个定值；若不是，请说明理由．
D
E P C D
C D
C Q A
B l M
（第24题）
A
（备用图1）
B
A
（备用图2）
B
【答案】解：（1）过点C作CF?AB于F，则四边形AFCD为矩形． ∴CF?4，AF?2．
此时，Rt△AQM∽Rt△ACF．……2分 E P C QMCF∴． ?AMAFQM4即?，∴QM?1． 0.52D
Q A
l M F
（第24题）
B
（2）∵?DCA为锐角，故有两种情况：
①当?CPQ?90?时，点P与点E重合． 此时DE?CP?CD，即t?t?2，∴t?1． ②当?PQC?90?时，如备用图1，
EQMA?此时Rt△PEQ∽Rt△QMA，∴． PEQM由（1）知，EQ?EM?QM?4?2t，
而PE?PC?CE?PC?(DC?DE)?t?(2?t)?2t?2，
l
D P E C Q
4?2t15?． ∴t?． 2t?2235综上所述，t?1或．
3CQ（3）为定值．
RQ∴
当t＞2时，如备用图2，
PA?DA?DP?4?(t?2)?6?t．
由（1）得，BF?AB?AF?4． ∴CF?BF． ∴?CBF?45?． ∴QM?MB?6?t． ∴QM?PA． ∴四边形AMQP为矩形． ∴PQ∥AB． ∴△CRQ∽△CAB．
D P A
M B （备用图1）
C R Q A
M F B
（备用图2）
CQBCCF2?BF24222∴． ????RQABAB6317．（2018北京）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝AD＝2，BC＝4．求∠B的度数及AC的长．
【答案】解法一：分别作AF⊥BC，DG⊥BC，F、G是垂足．
∴∠AFB＝∠DGC＝90°． ∵AD∥BC，
∴四边形AFGD是矩形． ∴AF＝DG． ∵AB＝DC，
∴Rt△AFB≌Rt△DGC． ∴BF＝CG． ∵AD＝2，BC＝4， ∴BF＝1．
在Rt△AFB中，∵cosB＝∴∠B＝60°． ∵BF＝1． ∴AF＝3．
由勾股定理，得AC＝23． ∴∠B＝60°，AC＝23．
BF1＝， 全品中考网 AB2
解法二：过A点作AE∥DC交BC于点E．
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形． ∴AD＝EC，AE＝DC． ∵AB＝DC＝AD＝2，BC＝4， ∴AE＝BE＝EC＝AB．
可证 △BAC是直角三角形，△ABE是等边三角形． ∴∠BAC＝90°，∠B＝60°．
在Rt△ABC中，AC＝AB·tan60°＝23． ∴∠B＝60°，AC＝＝23．
18．（2018北京）问题:已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，
BD=BA，探究∠DBC与∠ABC度数的比值．
请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明． （1）当∠BAC=90°时，依问题中的条件补全右图． 观察图形，AB与AC的数量关系为 ；
当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC的度数为 ； 可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为 ．
（2）当∠BAC≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明． 【答案】解：（1）相等；15°；1:3．
(2)猜想：∠DBC与∠ABC度数的比值与（1）中的结论相同．
证明：如图2，作∠KCA=∠BAC，过B点作BK∥AC，交CK于点K，连结DK. ∵∠BAC≠90°
∴四边形ABKC是等腰梯形． ∴CK=AB， ∵DC=DA， ∴∠DCA=∠DAC． ∵∠KCA=∠BAC，
CAB
∴∠KCD=∠3． ∵△KCD≌△BAD． ∴∠2=∠4，KD=BD， ∵BK∥AC， ∴∠ACB=∠6． ∵∠KCA=2∠ACB， ∴∠5=∠ACB， ∴∠5=∠6． ∴KC=KB， ∴KD=BD=KB． ∴∠KBD=60°．
∵∠ACB=∠6=60°－∠1， ∴ ∠BAC=2∠ACB=120°－2∠1．
∵∠1 +(60°－∠1) +(120°－2∠1)+ ∠2=180° ∴∠2=2∠1．
∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3．
19．（2018河南）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=42，∠C=45，点P是BC边上一动点，设PB长为x.
(1)当x的值为 时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形. (2)当x的值为 时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行网边形.
(3)点P在BC边上运动的过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由.
0
【答案】（1）3或8； （2）1或11；
（3）由（2）知，当BP = 11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形. ∴EP = AD = 5.
过D作DF⊥BC于F，则DF = FC = 4 ，∴ FP = 3. ∴ DP = FP2?DF2?32?42?5. ∴ EP = DP,故此时平行四边形PDAE是菱形.