即以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形. 20．（2018四川乐山）在△ABC中，D为BC的中点，O为AD的中点，直线l过点O.过A、B、C三点分别做直线l的垂线，垂足分别是G、E、F，设AG=h1，BE=h2，CF=h3. （1）如图（12.1），当直线l⊥AD时（此时点G与点O重合）.求证：h2+h3= 2h1； （2）将直线l绕点O旋转，使得l与AD不垂直.
①如图（12.2），当点B、C在直线l的同侧时，猜想（1）中的结论是否成立，请说明你的理由；
②如图（12.3），当点B、C在直线l的异侧时，猜想h1、h2、h3满足什么关系.（只需写出关系，不要求说明理由）
A
F h1 (G) O h3 l
E h1 G h2 B
O A h1 G
F h3
D 图（12.1）
C
D 图（12.2）
C
B
E l
h2
D 图（12.3）
C
h3 F l
O A E h2 B
【答案】25.（1）证明：∵BE⊥l，GF⊥l，
∴四边形BCFE是梯形.
又∵GD⊥l，D是BC的中点， ∴DG是梯形的中位线， ∴BE+CF=2DG.
又O为AD的中点，∴AG=DG， ∴BE+CF=2AG. 即h2+h3= 2h1. （2）成立.
证明：过点D作DH⊥l，垂足为H，
∴∠AGO=∠DHO=Rt∠，∠AOG=∠DOH，OA=OD， ∴△AGO≌△DHO， ∴DH=AG.
又∵D为BC的中点，由梯形的中位线性质， 得2 DH=BE+CF，即2 AG =BE+CF， ∴h2+h3= 2h1成立.
（3）h1、h2、h3满足关系：h2－h3= 2h1.
（说明：（3）问中，只要是正确的等价关系都得分）
21．（2018黑龙江哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形AOCB
是梯形，AB∥OC，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（10，0），OB＝OC． （1）求点B的坐标；
（2）点P从C点出发，沿线段CO以5个单位/秒的速度向终点O匀速运动，过点P作
PH⊥OB，垂足为H，设△HBP的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点P作PM∥CB交线段AB于点M，过点M作MR⊥OC，
垂足为R，线段MR分别交直线PH、OB于点E、G，点F为线段PM的中点，连
接EF，当t为何值时，
EF5?？ EG2
【答案】解：（1）如图1，过点B作BN⊥OC，垂中为N
由题意知OB=OC=10，BN=OA=8
?ON?OB2?BN2?6…………1分 ∴B（6，8）
（2）如图1，??BON??POH
?ONB??OHP?90?
??BOH∽?POH?BOONBN?? POOHPH?PC?5t,?OP?10?5t,?OH?6?3t,PH?8?4t ?BH?OB?OH?10?(6?3t)?3t?4 ?S?1(3t?4)(8?4t)??6t2?4t?16(0?t?2) 2
（3）①当点G在点E上方时，
如图2，过点B作BN'?OC，垂足为N'
BN'?8,CN'?4,?CB?BN'2?CN'2?45
?BM//PC,BC//PM ∴四边形BMPC是平行四边形
??OBC ?PM?BC?45 BM?PC?5t?OC?OB,??OCB∵PM∥CB ∴∠OPD=∠OCB ∠ODP=∠OBC
∴∠OPD=∠ODP ∵∠OPD+∠RMP=90° ∠ODP+∠DPH=90° ∴∠RMP=∠DPH ∴EM=EF ∵点F为PM的中点 ∴EF⊥PM
∵∠EMF=∠PMR ∠EFM=∠PRM=90° ∴△MEF∽△MPR
?MEMFEF??MPMRPR其中MF?PM?252
MR?8PR?PM2?MR2?4????1分?ME?5EF?5?EF5??EG?2EG2?MG?EM?EG?5?2?3????1分MGMB9??BM? N?BN?O4
∵AB//OC ∴∠MBG=∠BON′ 又∵∠GMB=∠ON′B=90° ∴△MGB∽△NB′O ??5t?99?t? 420②当点G在点E下方时
如图3 同理可得 MG=ME+EG=5+2=7
?BM?5t?2121?t? 420?当t?921EF5或时,?. 2020EG222．（2018江苏徐州）如图①，梯形ABCD中，∠C=90°．动点E、F同时从点B出发，点E
沿折线 BA—AD—DC运动到点C时停止运动，点F沿BC运动到点C时停止运动，它们运动
2
时的速度都是1 cm/s．设E、F出发t s时，△EBF的面积为y cm．已知y与t的函数图象如图②所示，其中曲线OM为抛物线的一部分，MN、NP为线段．请根据图中的信息，解答下列问题：
2
(1)梯形上底的长AD=_____cm，梯形ABCD的面积_____cm；
(2)当点E在BA、DC上运动时，分别求出y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围)； (3)当t为何值时，△EBF与梯形ABCD的面积之比为1：2.
【答案】
23．（2018云南昆明）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB = 90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O. （1）当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE；
（2）设（1）中的相似比为k，若AD︰BC = 2︰3. 请探究：当k为下列三种情况时，四
边形ABPE是什么四边形？①当k= 1时，是 ；②当k= 2时，是 ；③当k= 3时，是 . 并证明．．．k= 2时的结论.
A E O
B P
C D
【答案】（1）证明：∵AD∥BC
∴∠OBP = ∠ODE
在△BOP和△DOE中 ∠OBP = ∠ODE
∠BOP = ∠DOE ∴△BOP∽△DOE (有两个角对应相等的两
三角形相似)
（2）① 平行四边形
② 直角梯形
③ 等腰梯形
证明：∵k = 2时，
BP?2 DE3AD 2 ∴ BP = 2DE = AD
又∵AD︰BC = 2︰3 BC = PC = BC - BP =
31AD - AD =AD = ED 22ED∥PC , ∴四边形PCDE是平行四边形 ∵∠DCB = 90°
∴四边形PCDE是矩形 ∴ ∠EPB = 90° 又∵ 在直角梯形ABCD中 AD∥BC, AB与DC不平行 ∴ AE∥BP, AB与EP不平行
四边形ABPE是直角梯形
24．（2018广东东莞）已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图⑴放置，点B、
D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C＝∠EFB＝90°，∠E＝∠ABC＝30°，AB＝DE＝4．
⑴求证：△EGB是等腰三角形；
⑵若纸片DEF不动，问△ABC绕点F逆时针旋转最小 度时，四边形ACDE成为以ED为底的梯形（如图⑵）．求此梯形的高
EEAGFCF图（1）（D）BC图（2）AGBD
【答案】⑴∵∠EFB＝90°，∠ABC＝30°
∴∠EBG＝30°