?ACB??EGB?90O,?B公共
∴△ACB∽△EGB ……………………7分
4 ∴ EG?BE 即EG?t 故EG?t …………………8分
5810ACABy?S?ABC?S?BEF
=
1144?6?8??10?2t??t?t2?4t?24 ……………………9分 2255５45=(t?)2?19 故当t=时，y的最小值为19 ………………10分
２5229．（2018 广西玉林、防城港）等腰梯形ABCD中，DC∥AB，对角线AC与BD交于点O，AD＝DC，AC ＝BD＝AB。
（1）若∠ABD＝?，求?的度数；
（2）求证：OB＝ OD?BD
2
【答案】（1）∵DC∥AB ∴∠BDC＝∠ABD 又ABCD是等腰梯形
∴∠BDC＝∠DBC ∴∠BDC＝∠ABD＝∠DBC 又AC＝BD＝AB ∴∠ABC＝∠ACB＝2?
又AD＝BC，AB＝AB AC＝BD ∴△ABD≌△BAC ∠BAC＝∠ABD 在三角形ABC中有：?＋2?＋2?＝180°，解得：?＝36° （2）∵∠COB＝2?＝＝∠BCO ∴OB＝BC＝CD
在△COD和△BCD中，∠BDC＝∠BDC ∠DCA＝∠CAB＝∠DBC＝?
∴△COD∽△BCD ∴ ∴OB＝ OD?BD
30．（2018 湖北咸宁）如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，?DAB?90?，AD?2DC?4，
AB?6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．
（1）当t?0.5时，求线段QM的长；
（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；
CQ（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究是否为定值，若是，试求这个
RQ定值；若不是，请说明理由．
2CDBD? 又OB＝BC＝CD ODCD
D
E P C D
C D
C Q A
B l M
（第24题）
A
（备用图1）
B
A
（备用图2）
B
【答案】解：（1）过点C作CF?AB于F，则四边形AFCD为矩形． ∴CF?4，AF?2．
此时，Rt△AQM∽Rt△ACF．……2分
QMCF． ?AMAFQM4即?，∴QM?1．……3分 0.52∴
（2）∵?DCA为锐角，故有两种情况： ①当?CPQ?90?时，点P与点E重合．
此时DE?CP?CD，即t?t?2，∴t?1．……5分 ②当?PQC?90?时，如备用图1，
D
E P C Q A
l M F
（第24题）
B
EQMA?． PEQM由（1）知，EQ?EM?QM?4?2t，
而PE?PC?CE?PC?(DC?DE)?t?(2?t)?2t?2，
此时Rt△PEQ∽Rt△QMA，∴
l
D P E C Q
4?2t15?． ∴t?． 2t?2235综上所述，t?1或．……8分（说明：未综述，不扣分）
3CQ（3）为定值．……9分
RQ∴
当t＞2时，如备用图2，
PA?DA?DP?4?(t?2)?6?t．
由（1）得，BF?AB?AF?4． ∴CF?BF． ∴?CBF?45?． ∴QM?MB?6?t． ∴QM?PA．
∴四边形AMQP为矩形． ∴PQ∥AB．……11分 ∴△CRQ∽△CAB．
D P A
M B （备用图1）
C R Q A
M F B
（备用图2）
CQBCCF2?BF24222∴．……12分 ????RQABAB6331．（2018鄂尔多斯）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD的中点，EF∥AB交于点F。
（1）求证：BF=AD+CF。
（2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长。
【答案】（1）证法一：
如图（1），延长AD交FE的延长线于N
∵∠NDE=∠FCE=90° ∠DEN=∠FEC
DE=EC
∴△NDE≌△FCE ∴DN=CF
∵AB∥FN，AN∥BF
∴四边形ABFN是平行四边形 ∴BF=AD+DN=AD+FC （1） 解：∵AB∥FN ∴∠1=∠BEF ∵∠1=∠2 ∴∠2=∠BEF
∴EF=BE ∴EF=AD+CF=
AD?BC1?7??4 22（1）证法2：如图（2）
过D点作DN∥AB交BC于N ∵ADBN，AB∥DN ∴AD=BN ∵EF∥AB，∴DN∥EF ∴△CEF∽△CDN
CECF? DCCNCF1CE1? 即NF=CF ?,∴∵
CN2DC2∴
∴BF=BN+NF=AD+FC=4
?COA?90°，32．（2018年山西）在直角梯形OABC中，CB//OA，CB=3，OA=6，BA?35。分别以OA、OC边所在直线为x轴，y轴建立如图1所示的平面直角坐标系。
（1）求点B的坐标；
（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD=5，OE=2EB，直线DE交x轴于点F，
求直线DE的解析式；
（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面 内是否存在另一个点N，
使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）作BH?x轴于点H，则四边形OHBC为矩形，
?OH?CB?3…………（1分）
?AH?OA?OH?6?3?3.
在Rt?ABH中，BH?BA?AH?(35)?32?6…………（2分）
222 ?点B的坐标为（3，6）…………（3分） （2）作EG?x轴于点G，则EG//BH ??OEG∽?OBH…………（4分）
OEOGEG??，又?OE?2EB OBOHBHOE22OGEG?，??? ?OB3336?OG?2.EG?4
?点E的坐标为（2，4）……（5分） 又?点D的坐标为（0，5）
?设直线DE的解析式为y?kx?b
则??2k?b?4,1解得k??,b?5.…………（7分）
2?b?5. （3）答：存在…………（8分）
①如图1，当OD=DM=MN=NO=5时，四边形ODMN为菱形，
作MP?y轴于点P，则MP//x轴，
??MPD∽?FOD
MPPDMD??又?当y?0时， ?OFODFD1?x?5?0,解得x?10 2?F点的坐标为（10，0），?OF=10。
在Rt?ODF中,FD?OD2?OF2?52?102?55
?MPPD5?? 10555
?MP?25,PD?5，?点M的坐标为(?25,5?5)
?点N的坐标为(?25,5)…………（10分）
②如图2，当OD=DN=NM=MO=5时，四边形ODNM为菱形，延长NM交x轴于点P，则MP?x轴。
1?点M在直线y??x?5上，
21?设M点坐标为(a,?a?5)
2在Rt?OPM中，OP?PM?OM
222
?1??a2???a?5??52
?2?解得a1?4,a2?0（舍去），?点M的坐标为（4，3）
2
?点N的坐标为（4，8）…………（12分）
③如图3，当OM=MD=DN=NO时，四边形OMDN为菱形， 连接NM，交OD于点P， 则NM与OD互相垂直平分，
?yM?yN?OP???1xM?5? 225 2?xM?5,?xN??xM??5.
5???点N的坐标为??5,?…………（14分）
2??综上所述，x轴上方的点N有三个，分别为N1(?25,5),N2(4,8),N3(?5,)
5233．（2018湖北宜昌）在梯形ABCD中，AD//BC,AB=CD,E为AD中点。 （1）求证：△ABE≌△DCE
（2）若BE平分?ABC,且AD=10,求AB的长（7分）
AEDBC
【答案】（1）证明：?AD∥BC,AB?CD， ??BAE??CDE ····· 1分
又E为AD中点, ?AE?ED． ············· 2分