∵∠E＝30° ∴∠E＝∠EBG ∴EG＝BG
∴△EGB是等腰三角形
⑵在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4 ∴BC＝23；
在Rt△DEF 中，∠EFD＝90°，∠E＝30°，DE＝4 ∴DF＝2
∴CF＝23?2．
∵四边形ACDE成为以ED为底的梯形 ∴ED∥AC ∵∠ACB＝90° ∴ED⊥CB
∵∠EFB＝90°，∠E＝30° ∴∠EBF＝60° ∵DE＝4∴DF＝2 ∴F到ED的距离为3
∴梯形的高为23?2?3?33?2
25．（2018江苏 镇江）探索发现（本小题满分9分）
如图，在直角坐标系xOy中,Rt?OAB和Rt?OCD的直角顶点A，C始终在x轴的
正半轴上，B，D在第一象限内，点B在直线OD上方，OC=CD，OD=2，M为OD的中点，AB与OD相交于E，当点B位置变化时，Rt?OAB的面积恒为1. 2 试解决下列问题：
（1）填空：点D坐标为 ；
（2）设点B横坐标为t，请把BD长表示成关于t的函数关系式，并化简； （3）等式BO=BD能否成立？为什么？
（4）设CM与AB相交于F，当△BDE为直角三角形时，判断四边形BDCF的形状，
并证明你的结论.
【答案】
（1）(2,2)；（1分） （2）由Rt?OAB的面积为11,得B(t,), 2t?BD2?AC2?(AB?CD)2,
111?BD2?(t?2)2?(?2)2?t2?2?22(t?)?4 ① （2分）
ttt?(t?1t)2?22(t?1t)?2?(t?1t?2)2. （3分）
?BD?|t?11t?2|?t?t?2. ② （4分）（注：不去绝
对值符号不扣分）
（3）[法一]若OB=BD，则OB2?BD2.
在Rt?OAB中,OB2?OA2?AB2?t2?1t2, 由①得t2?1t2?t2??t2?22(t?1t)?4, （5分） 得t?1t?2,?t2?2t?1?0,???(2)2?4??2?0,?此方程无解. ?OB?BD.(6分)
[法二]若OB=BD，则B点在OD的中垂线CM上.
?C(2,0),在等腰Rt?OCM中,可求得M(22,22), ∴直线CM的函数关系式为y??x?2， ③ （5分）
由Rt?OAB的面积为112,得B点坐标满足函数关系式y?x, 联立③，④得：x2?2x?1?0，
???(2)2?4??2?0,?此方程无解.?OB?BD.(6分)
[法三]若OB=BD，则B点在OD的中垂线CM上，如图27 – 1 过点B作BG?y轴于G,CM交y轴于H,
④
?S?OBG?S?OAB?1,21111而S?OMH?S?MOC?S?DOC??2?2??,(5分)
2222显然与S?HNO?S?0BG矛盾.?OB?BD.(6分) （4）如果?BDE为直角三角形,因为?BED?45?，
①当?EBD?90?时,此时F,E,M三点重合，如图27 – 2
?BF?x轴,DC?x轴,?BF//DC.
∴此时四边形BDCF为直角梯形.（7分） ②当?EBD?90时,如图27 – 3
?
?CF?OD,?BD//CF.又AB?x轴,DC?x轴,?BF//DC.
∴此时四边形BDCF为平行四边形.（8分） 下证平行四边形BDCF为菱形：
[法一]在?BDO中,OB2?OD2?BD2， 全品中考网
?t2?11112?4?t??22(t?)?4,?t??22,
ttt2t2[方法①]t2?22t?1?0,?BD在OD上方
11解得t?2?1,?2?;或t?2?1,?2?1（舍去）.
tt得B(2?1,2?1), [方法②]由②得：BD?t?此时BD?CD?1?2?22?2?2. t2,
∴此时四边形BDCF为菱形（9分） [法二]在等腰Rt?OAE与等腰Rt?EDB中
?OA?AE?t,OE?2t,则ED?BD?2?2T.?AB?AE?BE?t?2(2?2t)?22?t,11?22?t?,即t??22.以下同[法一].tt此时BD?CD?2,?此时四边形BDCF为菱形.(9分)26．（2018 广东汕头）已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图（1）放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C＝∠EFB＝90o，∠E＝∠ABC＝30o，AB＝DE＝4．
（1）求证：△EGB是等腰三角形；
（2）若纸片DEF不动，问△ABC绕点F逆时针旋转最小_____度时，四边形ACDE成为以ED为底的梯形（如图（2））．求此梯形的高．
E
E A G C G F B（D） F
第20题图（1）
C
第20题图（2）
A B D
【答案】（1）证明：∵∠C＝∠EFB＝90o，∠E＝∠ABC＝30o，
∴∠EDF＝60o，∠GBE＝∠E＝30o， ∴GB＝GE
∴△EGB是等腰三角形．
（2）解：在Rt△BEF中，由∠E＝30o得BF＝ ∴CF＝23?2
∵四边形ACDE是以ED为底的梯形 ∴AC∥DE ∵AC⊥BC
∴DE⊥BC ∴∠DFB＝90o－∠EDF＝30o ∴旋转的最小角是30o
设图（2）中CB交DE于点M，则FM＝3
∴CM＝CF＋FM＝23?2＋3＝33?2，即此梯形的高为33?2．
27．（2018 四川泸州）在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，DE=4，则BC= ． 【答案】8
28．（2018 湖南湘潭）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0 （3）设四边形AFEC的面积为y，求y 关于t的函数关系式，并求出y的最小值． DCE1BE＝2，EF＝BC＝4，BC＝23 2A 【答案】 解：（1）∵CD∥AB,∴∠ BAC=∠DCA 25 题图 ……………………1分 又AC⊥BC, ∠ACB=90 ∴∠D=∠ACB= 90……………………2分 ∴△ACD∽△BAC ……………………3分 （2）Rt?ABC中，AC?o o FBAB2?BC2?8 ……………………4分 ACAB ∵△ACD∽△BAC ∴DC?AC ……………………5分 即 DC8? 解得：DC?6.4 810……………………6分 （3） 过点E作AB的垂线，垂足为G，