24．（10分）（2015?包头）如图，AB是⊙O的直径，点D是
上一点，且∠BDE=∠CBE，BD
与AE交于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
2
（2）若BD平分∠ABE，求证：DE=DF?DB；
（3）在（2）的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长和⊙O的半径．
考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质． 分析： （1）根据圆周角定理即可得出∠EAB+∠EBA=90°，再由已知得出∠ABE+∠CBE=90°，则CB⊥AB，从而证得BC是⊙O的切线；
（2）通过证得△DEF∽△DBE，得出相似三角形的对应边成比例即可证得结论． （3）连接DA、DO，先证得OD∥BE，得出求得PD=4，通过证得△PDA∽△POD，得出解得OA=2．
解答： （1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∵∠EDB=∠EAB，∠BDE=∠CBE， ∴∠EAB=∠CBE，
∴∠ABE+∠CBE=90°， ∴CB⊥AB，
∵AB是⊙O的直径， ∴BC是⊙O的切线；
（2）证明：∵BD平分∠ABE， ∴∠ABD=∠DBE，∴∠DEA=∠DBE， ∵∠EDB=∠BDE， ∴△DEF∽△DBE， ∴
2
==
，然后根据已知条件得出===，=，
，设OA=x，则PA=x，PO=2x，得出
=，
=，
∴DE=DF?DB；
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（3）解：连接DA、DO， ∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD， ∵∠EBD=∠OBD， ∴∠EBD=∠ODB， ∴OD∥BE， ∴
=
，
∵PA=AO， ∴PA=AO=OB， ∴∴∴
= =，
=，
∵DE=2， ∴PD=4，
∵∠PDA+∠ADE=180°，∠ABE+∠ADE=180°， ∴∠PDA=∠ABE， ∵OD∥BE，
∴∠AOD=∠ABE， ∴∠PDA=∠AOD， ∵∠P=∠P，
∴△PDA∽△POD， ∴
=
，
设OA=x，
∴PA=x，PO=2x， ∴
2
=，
，
∴2x=16，x=2∴OA=2．
点评： 本题考查了切线的判定，三角形相似的判定和性质；要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
22
25．（12分）（2015?包头）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=1厘米，AB=3厘米，BC=5厘米，动点P从点B出发以1厘米/秒的速度沿BC方向运动，动点Q从点C出发以2厘米/秒的速度沿CD方向运动，P，Q两点同时出发，当点Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）求线段CD的长；
（2）t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分？ （3）伴随P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l． ①t为何值时，l经过点C？
②求当l经过点D时t的值，并求出此时刻线段PQ的长．
考点： 四边形综合题．
分析： （1）作DE⊥BC于E，根据勾股定理即可求解；
（2）线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分，分两种情况进行求解； （3）①当PQ的垂直平分线经过点C进行分析解答； ②当PQ的垂直平分线l经过点D时进行分析解答． 解答： 解：（1）如图1，作DE⊥BC于E，
∵AD∥BC，∠A=90°， ∴四边形ABED为矩形， ∴BE=AD=1，DE=AB=3， ∴EC=BC﹣BE=4，
在Rt△DEC中，DE2+EC2=DC2
， ∴
厘米；
（2）∵点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒，运动时间为t秒， ∴BP=t厘米，PC=（5﹣t）厘米，CQ=2t厘米，QD=（5﹣2t）厘米， 且0＜t≤2.5， 作QH⊥BC于点H， ∴DE∥QH，
∴∠DEC=∠QHC，
23
∵∠C=∠C，
∴△DEC∽△QHC， ∴， ∴， ∴，
∴
，
，
分两种情况讨论：
①当S△PQC：S四边形ABCD=1：3时，，
即t2
﹣5t+5=0， 解得：
（舍去）；
②S△PQC：S四边形ABCD=2：3时，，
即t2﹣5t+10=0， ∵△＜0， ∴方程无解， ∴当t为秒时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分；（3）如图2，
①当PQ的垂直平分线l经过点C时，可知PC=QC， ∴5﹣t=2t， ∴3t=5， ∴t=，
∴当t=秒时，直线l经过点C； ②如图3，
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当PQ的垂直平分线l经过点D时， 可知DQ=DP，
连接DP，则在Rt△DEP中，DP2=DE2+EP2
，
∴DQ2=DE2+EP2
，
∴（5﹣2t）2=32+（t﹣1）2
， ∴t1=1，t2=5（舍去）， ∴BP=1厘米，
∴当t=1秒时，直线l经过点D，此时点P与点E重合；如图4，连接FQ，
∵直线l是△DPQ的对称轴，
∴△DEF≌△DQF，∠DQF=90°，EF=QF，
设EF=x厘米，则QF=x厘米，FC=（4﹣x）厘米，
在Rt△FQC中，FQ2+QC2=FC2
， x2+22=（4﹣x）2
， ∴x=， ∴EF=厘米，
在Rt△DEF中，DE2
+EF2
=DF2
， ∴，
∴DF=
厘米，
在Rt△DEF中，EG⊥DF， ∴，
∴EG=
，
25