阶数；四是对模型的参数进行估计。
所谓“平稳”时间序列，是指其统计特性不随时间的变化而发生变化。完全平稳时间序列的定义较为复杂，且实际问题中的时间序列往往不只要能是完全平稳的，因此统计中一般考虑的“平稳”可归结为：对所有的时间点，序列具有同样的均值、方差，而且任何两时间点s,t之间序列的协方差只取时间间隔(t-s)，而和这些点在时间轴上的位臵无关。 相关内容
http://www.wangxiao.cn/tj/fudao/6344413657.html
自回归AR模型、移动平均MA模型、自回归移动平均ARMA模型等都是常用的线性动力学模型，非线性模型如神经网络模型等。
http://www.100jrxx.com/HP/20100623/DetailD1169715.shtml ！
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http://wenku.http://www.wodefanwen.com//view/7a3e5b88d0d233d4b14e69af.html ！
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ARMA
模
型
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http://doc.mbalib.com/view/a01310723a037c2d40bc87c05c674564
.html
http://blog.sina.com.cn/s/blog_4b700c4c0100h251.html
http://blog.sina.com.cn/s/blog_4b700c4c0100fuds.html
http://blog.sina.com.cn/s/blog_4b700c4c0100m3f4.html
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第
五
章
功
率
谱
估
计
-第
3
节
http://wenku.http://www.wodefanwen.com//view/b74cf2c79ec3d5bbfd0a744f.html
【标题】基于高频数据的金融波动率模型
【标题注释】基金项目：国家自然科学基金资助项目(70471050) 【作 者】李胜歌/张世英
【作者简介】李胜歌 张世英 天津大学管理学院，天津 300072 【原文出处】统计与决策 【原刊地名】武汉 【原刊期号】20081 【分 类 号】F104
【分 类 名】统计与精算 【复印期号】200802
【内容提要】金融高频数据和金融波动率是目前金融领域研究的热点问题。本文对基于金融高频数据的金融波动率估计量——“已实现”双幂次变差进行了建模和预测。“已实现”双幕次变差无模型、计算简便，在一定条件下是金融波动率的无偏估计量，并且具有稳健性和有效性。通过用上证综指对“已实现”双幂次变差进行ARFIMA建模，发现中国股票市场的上证综指“已实现”双幂次变差时间序列具有长记忆性。
【摘 要 题】数理金融
【关 键 词】金融高频数据/“已实现”双幂次变差/ARFIMA模型 引言
金融高频数据是指以小时、分钟或秒为抽样频率的日内数据。一般而言，金融市场的信息是连续影响资产价格运动过程的，数据频率越低，则损失的信息越多；反之，数据频率越高，获得的市场信息就越多。因此，随着计算机及通信技术的发展，当获取金融高频数据成为可能后，金融高频数据的研究就成为了金融研究领域中的焦点。 金融波动率的研究一直以来就是人们研究的热点问题。准确的金融波动率估计、建模等问题具有重要的意义，它是进行资产定价、风险管理、投资组合等研究的基础。在金融高频数据中，Andersen和Bollerslev提出了一种全新的波动率度量方法——“已实现”波动
(Realized Volatility, RV)来估计金融波动率，随后Bandorff-Nielsen和Neil Shephard提出了又一类似“已实现”波动的波动率估计量——“已实现”双幂次变差(Realized Bipower Variation, RBV)，该估计量不但具有“已实现”波动的所有优点，如无模型、计算简便、具有无偏性等，而且具有稳健性，同时比“已实现”波动更有效。因此本文选取“已实现”双幂次变差来进行金融波动率建模。
一、“已实现”双幂次变差
当r=2，s=0或者r=0，s=2时，“已实现”双幂次变差即为“已实现”波动。同时Bandorff-Nielsen和Neil Shephard指出在不存在跳跃和存在有限次跳跃的条件下，当r+s=2并且r∈(0，2)时，有下式成立：
其中，，Г(p)表示伽玛函数。可以看出当r+s=2并且r∈(0，2)时，“已实现”双幂次变差在M→∞条件下的概率极限为积分波动(Integrated Volatility，IV)，并且对偶尔出现的跳跃具有稳健性。在一定条件下，“已实现”双幂次变差是比“已实现”波动更有效的波动率估计量，并且当r=s=1时的“已实现”双幂次变差的有效性比r、s取其它值时的“已实现”双幂次变差以及“已实现”波动都更有效[8]。因此，“已实现”双幂次变差是比较理想的金融波动估计量。 二、“已实现”双幂次变差建模
（一）ARFIMA模型
“已实现”波动估计量具有显著的长记忆性，即分整(Fractionally Integrated)的性质，通常长记忆性可以用分整自回归移动平均模型(Autoregressive Fractionally Integrated Moving Average Model, ARFIMA)来进行刻画[9]。“已实现”双幂次变差类似于“已实现”波动估计量，因此也可以考虑对其进行ARFIMA建模，通过分维数d的估计值就可以得知“已实现”双幂次变差时间序列是否具有长记忆性。
分整自回归移动平均模型ARFIMA(p，d，q)用p+q个参数描述过程的短记忆特征，以参数d反映过程的长记忆特征。因此ARFIMA(p，d，q)模型综合考虑了过程的长记忆和短记忆过程，既优于单纯描述短记忆过程的自回归移动平均(Autoregressive Moving Average)ARMA(p，q)模型。又优于单独描述长记忆过程的分整差分噪声(Fractional Differenced Noise，FDN)模型。当ARFIMA(p，d，q)模型中的参数p=q=0时，即为FDN模型，而当参数d=0时，则为ARMA模型。
（二）分维数d的估计
ARFIMA模型中分维数d可以用聚合方基法来进行估计[10]。将时间序列，t=1，2，…，T分成样本容量为m的[T/m]个子样本，在每个子样本内求均值，对于固定的m值，可以得到一个聚合序列：