习题四参考解答
t?t?0。4.1 惯性系K相对惯性系K以速度u运动。当它们的坐标原点O与O重合时，
在惯性系K中一质点作匀速率圆周运动，轨道方程为 ?x????y???a2，z??0，
22'''' 试证：在惯性系K中的观测者观测到该质点作椭圆运动，椭圆的中心以速度u运动。
提示：在惯性系K中的观测者观测到该质点的轨道方程为
(x?ut)2y2 2?2?1。 2a(1??)a证明：根据洛仑兹坐标变换关系 x??x?ut1??2, y??y, z??z
(x?ut)222代入原方程中，得到 ?y?a21??(x?ut)2y2化简得 2??1
a(1??2)a2所以，在K系中质点做椭圆运动，椭圆中心以速度u运动。
4.2 一观测者测得运动着的米尺长0.5m，问此米尺以多大的速度接近观测者？ 解：由相对论长度缩短关系 L?L01??v/c?
2得到 v?c1??L/L0??3.0?10?1??1/2??2.6?10m/s
2828
Y?平面内放置一固有长度为?0的细杆，该细杆与x?4.3 如题图4.3所示，在K系的O?X?轴的夹角为??。设K系相对于K系沿x轴正向以速率u运动，试求在K系中测得的细杆的长度?和细杆与x轴的夹角?。 Y Y?
?? ' O O X，X?
''题图4.3
??x??l0cos??解：细杆在K?系中的两个坐标上的投影分别为 ?
????y?l0sin?
1
细杆在K系中的两个坐标上的投影分别为
22???x?1??u/c??x??l01??u/c?co?s? ?
?????y??y??l0sin在K系中细杆的长度为
l??x2??y2?l01??u/c?cos2???sin2???l01??ucos??/c?
22??an与X轴正向夹角?为 ??arctan?arct?
?y?x?tg???22?1?u/c?? ??4.4 一飞船以9?10ms的速率相对于地面[假设地面惯性系]匀速飞行。若飞船上的钟走
了5s的时间，用地面上的钟测量是经过了多少时间？ 解：根据相对论中时间延长关系 T?3?1T01?(v/c)2
代入数据，可得 T?
51?[9?10/(3?10)]382?5.000000s0 024.5 已知?介子束的速度为0.73c[c为真空中的光速]，其固有平均寿命为2.5?10s，
在实验室中看来，?介子在一个平均寿命期内飞过多大距离？ 解：根据相对论中时间延长关系 T????8T01?(v/c)2
代入数据，可得 T?2.5?10?81?0.7328?3.658?10?8s
?8因此 S?vT?0.73?3?10?3.658?10
?8.01m
4.6 惯性系K?相对另一惯性系K沿x轴作匀速直线运动，在惯性系K中观测到两个事件
同时发生x轴上，且其间距是1m，在K?系观测到这两个事件的空间间距是2m，求K?系中测得的这两个事件的时间间隔。
解：由相对论的同时性的两个等价关系
?t??u?x?v/c2 (1) ?t???x??v/c2 (2)
联立两式得到
u?x??x? ? u?代入(2)式中得到
?x?1?x?2 ? ? v?c1?(?x/?x?) ??x1?(v/c)2?x 2
?t???x??v/c2??x??1?(?x/?x?)2/c?2?1?(1/2)2/(3?108)?5.77?10?9s
4.7论证以下结论：在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同的地点，在有相对运动的其他惯性系中，这两个事件一定不同时发生。
证明：令在某个惯性系中两事件满足 ?t?0， ?x?0
则在有相对运动的另一个惯性系中(相对运动速度为v),两事件的时间间隔是
?t??u(?t??x?v/c)??u?x?v/c??由于 ?x?0， v?0且v??c
所以 ?t??0，即两事件一定不同时发生。
22?x?v/c21?(v/c)2
4.8 试证明：(1)如果两个事件在某惯性系中是同一地点发生的，则对一切惯性系来说这两
个事件的时间间隔，只有在此惯性系中最短；(2)如果两个事件在某惯性系中是同时发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的空间间隔，只有在此惯性系中最短。
证明(1) 设两事件在某惯性系中于同一地点发生，即?x?0，时间间隔为?t，则在另一个相对运动速度为v的惯性系中，两事件的时间间隔为
?t??u(?t??x?v/c2)?u?t??t1?(v/c)2??t
所以，在原惯性系中时间间隔最短。
证明(2) 设两事件在某惯性系中于同时发生，即?t?0，时间间隔为?x，则在另一个相对运动速度为v的惯性系中，两事件的时间间隔为
?x??u(?x?v?t)?u?x?所以，在原惯性系中空间间隔最短。
?x1?(v/c)2??x
4.9 若电子A和电子B均以0.85c[c为真空中的光速]的速度相对于实验室向右和向左飞
行，问两者的相对速度是多少？ [ 答案：0.99c]
Y?平面内且与x?轴的夹角为??。4.10 一光源在K?系的原点O?发出一光线。光线在O?X?设K?系相对于K系沿x轴正向以速率u运动。试求在K系中的观测者观测到此光线与x轴的夹角?。
???Vx??ccos解：光线的速度在K?系中两个速度坐标上的投影分别为 ?
??V?csin??yu2Vy?1?2u?Vx?cVx? ， Vy? Vx??uu1?2Vx?1?2cc3
由速度变换关系
则在K系中速度的两个投影分别为
ccos???ucsin??1?u2/c2Vx?， Vy?
uccos??uccos??1?1?c2c2Vy所以，在K系中的观测者观测到此光线与x轴的夹角??arctan
Vx
4.11 如果一观测者测出电子的质量为2m0[m0为电子的静止质量]，问电子的速度是多大？ 解：由相对论质量关系 m?m01?(V/c)2
而且 m?2m0 得到 V?
4.12 如果将电子由静止加速到0.1c [c为真空中的光速] 的速度，需要对它作多少功？速度从0.9c加速到0.99c，又要作多少功？ 解(1) 由相对论动能定理：
3c?0.866c 2Aab??ba???11222F?dr?mbc?mac?m0c??22?1?(V/c)1?(V/c)ba??? ??因为 Va?0， Vb?0.1c
??1?1??0.005m0c2?4.095?10?16J?2.56Kev代入得到 Aab?m0c? 2?1?0.1?2(2) 将 Va?0.9c， Vb?0.99c代入原式
?11Aab?m0c2??21?0.92?1?0.99
?2?133??4.7946m0c?3.93?10J?2.46?10Kev ?4.13 在什么速度下粒子的动量是其非相对论动量的两倍？在什么速度下粒子的动能等于它
的静止能量？
解(1) 由相对论动量公式 p?mV?m0V1?(V/c)2
而且 p?2m0V
4
联立两式 m?2m0 ? V?3c?2.6?108ms?1 2(2) 由相对论动能公式 EK?mc2?m0c2 而且 EK?2m0c2
联立两式 m?2m0 ? V?
4.14 静止质量为9.1?10?31kg的电子具有5倍于它的静能的总能量，试求它的动量和速率。
[提示：电子的静能为E0?0.511MeV] 解：由总能量公式 E?mc 而且 E?5E0 ? m?23c?2.6?108ms?1 25E0 (1) 2c其中 m?m01?(v/c)2 (2)
联立(1)、(2)两式
24m0c(9.1?10?31)2?(3?108)4?c1??0.98c V?c1?26?19225E025?(0.511?10?1.6?10)将(1)式代入动量公式
p?mV?
5E05?0.98?0.51Mev2.5Mev?0.98c?? 2ccc4.15 一个质量为M的静止粒子，衰变为两个静止质量为m1和m2的粒子，求这两个粒子的
动能。[提示：利用能量守恒和动量守恒关系] 解：令两粒子的动能分别为EK1与EK2
由相对论能量守恒得到 Mc?EK1?EK2?m1c?m2c (1) 由相对论动量和能量的关系 E?pc?m0c?(EK?m0c)
2EK得到 p?2?2m0EK
c22222222422 5