由相对论动量守恒p?p联立(1)、(2)两式解得
2122得到
2EK1c2?2m1EK1?2EK2c2?2m2EK2 (2)
c2c222?M?m1??m2，Ek2??M?m2?2?m12 Ek1?2M2M????
6
习题五参考解答
5.1 简答下列问题：
（1） 什么是简谐振动？分别从运动学和动力学两方面作出解释。一个质点在一个使它返
回平衡位置的力的作用下，它是否一定作简谐振动？
（2） 在什么情况下，简谐振动的速度和加速度是同号的？在什么情况下是异号的？加速
度为正值时，振动质点一定是加快地运动吗？反之，加速度为负值时，肯定是减慢地运动吗？
（3） 同一弹簧振子，如果它在水平位置是作简谐振动，那么它在竖直悬挂情况下是否仍
作简谐振动？把它装在光滑斜面上，它是否仍将作简谐振动？ （4） 如果某简谐振动振动的运动学方程是y?Acos(n?t??)，那么这一振动的周期是多少？
（5） 在地球上，我们认为单摆(在小角幅下)的运动是简谐振动，如果把它拿到月球上，
那么，振动周期将怎样改变？
（6） 什么是位相？一个单摆由最左位置开始摆向右方，在最左端位相是多少？经过中点、
到达右端、再回中点、返回左端等各处的位相是多少？
（7） 初位相是个什么物理量？初位相由什么确定？如何求初周相？试分别举例说明：
(a)已知初始状态，如何确定初位相；(b)已知初位相，如何确定初始状态。
100?t?0.7?)cm。某时刻它在x?32cm处，且向X轴5.2 一质点作简谐振动x?6cos(负向运动，它要重新回到该位置至少需要经历的时间为
(A)
答案：(B)
1313s; (B) s; (C) s; (D) s。 1002005050x?6cos(100?t?0.7?)?Acos(?t??)
Y
? A ??t?2???/2 ?/4 O X 如图：
7
x1?32?Acos??/4??Acos(?t1??),v1?0
x2?32?Acos?3?/2??/4??Acos(?t2??),v2?0
位相差
??t?3?/2
?t?3?/2??3?/[2?100?]?3/200s
5.3 以频率?作简谐振动的系统，其动能和势能随时间变化的频率为
(A) ?/2； (B) ?； (C) 2?； (D) 4?。
答案：(C)
Ep?cos2(?t??)?12?1?cos(2?t?2?)?Ek?sin2(?t??)?1?)? 2?1?cos(2?t?2
5.4 劲度系数为100N/m的轻弹簧和质量为10g的小球组成的弹簧振子，第一次将小球拉离平衡位置4cm，由静止释放任其运动；第二次将小球拉离平衡位置2cm并给以2cm/s的初速度任其振动。这两次振动能量之比为
(A) 1:1; (B) 4:1; (C) 2:1; (D) 22:3。
答案：(C)
22211 E1?1， E?kx?mvkx2221222221?x2?m?v2?E211112kx2?2mv2?????? ????21E1kxxkx4421?1??1?2225.5 一谐振系统周期为0.6s，振子质量为200g，振子经平衡位置时速度为12cm/s，则再经
0.2s后振子动能为
(A) 1.8?10J； (B) 0; (C) 1.44?10J; (D) 3.0?10J。 答案：(D)
?4?3?5x0?Acos??0，cos??0?????2，
v0??A?sin??0.12?0? sin??0????1 Ek?1 2mv?2m?Asin(?t??)2222?2，A??v0
22221 ?12mv0sin(0.2???/2)?2mv0sin(0.2?2?/T??/2)?0.1??12?10?22?sin(2?/3??/2)?0.1??12?102?22?sin2(?/6)
?3.0?10?5J
8
5.6 一弹簧振子系统竖直挂在电梯内，当电梯静止时，振子谐振频率为v0。现使电梯以加速度a向上作匀加速运动，则其谐振频率将
(A) 不变； (B) 变大； (C) 变小； (D) 变大变小都有可能
答案：(A)
a
fx??kx?m(g?a)
d2x kx m2?fx??kx?m(g?a)
dtd2x?m? m(g?a) m2??k?x?(g?a)?
dtk??d2x?m?? m2??kx?，x???x?(g?a)?
dtk?? X
5.7 将一物体放在一个沿水平方向作周期为1s的简谐振动的平板上，物体与平板间的最大静摩擦系数为0.4。要使物体在平板上不致滑动，平板振动的振幅最大只能为
(A) 要由物体质量决定； (B) 2/g; (C) g/(10?2); (D) 0.4cm 答案：(C) f
a 最大静摩擦力为fm?0.4mg，最大加速度为am?A?2 由fm?mam得
0.4mg?mA?2?A?0.4g/?2?0.4gT2/(2?)2?g/(10?2)
?)cm和 5.8 两分振动方程分别为x1?3cos(50?t?0.25x2?4cos(50?t?0.75?)cm，则它们合振动的表达式为
(A) x?cos(50?t?0.25?)cm; (B) x?5cos50?tcm; (C) x?5cos?50?t????1??tg?1?cm; 27?(D) x?7cm。 答案：(C)
9
5.9 质量为m?10?10?3kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x?0.5?10?2cos8?t?1的3?规律作简谐振动，式中 t以秒为单位，x以米为单位。试求：
(1) 振动的圆频率、周期、振幅、初位相以及速度和加速度的最大值； (2) 求t?1s,2s,10s时刻的位相。
(3) 利用Mathematica绘出位移、速度、加速度与时间的关系曲线。
?1解(1)：??8?s , T???2???0.25s , A?0.5?10?2m , ?0?1 3??2?1 ?V??4??10?2sin?8?t?1?V?4??10?0.126ms?max3? ? amax?32?2?10?2?3.16ms?2 a??32?2?10?2cos?8?t?13?(2) ? ??8?t??3
25?
33?49?2?16????
33?241?10?80????
335.10 劲度系数为k1和k2的两根弹簧，与质量为m的物体按题图5.10所示的两种方式连接
??1?8????试证明它们的振动均为谐振动。
k1 m k2 k1 k2 m
题图5.10
证明：(1)当物体向右移动x时，左端弹簧伸长x，而右端弹簧缩短x，它们对物体作用力方向相同，均与物体位移方向相反，所以
f??k1x?k2x??(k1?k2)x
因此物体将作简谐振动。
(2) 设两弹簧分别伸长x1与x2，则弹簧对物体的作用力 f??k2x2 对两弹簧的连接点有: k1x1?k2x2 且 x?x1?x2 解此两式： x2?k1x
k1?k2 10