代入f中： f??因此物体将作简谐振动。
k1k2x
k1?k25.11 如题图5.11所示，质量为m的物体放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角?，弹簧的
劲度系数为k，滑轮的转动惯量为I，半径为R。先把物体托住，使弹簧维持原长，然后由静止释放，试证明物体作简谐振动。
m k ? 题图5.11
证明：取未用手托系统静止时m的位置为平衡位置，令此点位坐标原点，弹簧伸长x0，则有： mgsin??kx0 (1) 当物体沿斜面向下位移为x时，则有：
mgsin??T1?ma (2) T1R?T2R?I? (3)
T2?k(x0?x) (4)
a?R? (5)
将(2)与(4)代入(3),并利用(5),可得
I)a?mgRsin??kx0R?kxR RkR利用(1)式，得到 a??x
ImR?R(mR?所以，物体作的是简谐振动。
5.12 一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表
出。如果t?0时质点的状态分别是： (1) x0??A；
(1) 过平衡位置向x轴正向运动； (3) 过x?12A处向x轴负向运动；
11
(4) 过x?12A处向x轴正向运动。
试用旋转矢量图方法确定相应的初位相，并写出振动方程。 Y (3) A ?/3 (1) O X ??/4
(4) (2)
解：令振动方程为：x?Acos???2??t??? ?T??2??t??? ?T?(1) ?t?0,x0??A，?cos???1 ? ???，?x?Acos?(2) ?t?0,x0?0，?cos??0 ? ????2
?V0?0 ? sin??0 ? ???(3) ?t?0,x0??2，?x?Acos????2?t??
2??TA1?，?cos?? ? ??? 223?V0?0 ? sin??0 ? ??A2?3，?x?Acos????2?t??
3??T(4) ?t?0,x0?，?cos???2 ? ???
42?V0?0 ? sin??0 ? ???
?4，?x?Acos????2?t??
4??T?35.13 一质量为10?10kg的物体作谐振动，振幅为24cm，周期为4.0s，当t?0时，位移
12
为24cm。求：
(1) t?0.5s时，物体所在的位置； (2) t?0.5s时，物体所受力的大小和方向；
(3) 由起始位置运动到x?12cm处所需的最短时间； (4) 在x?12cm处物体的速度、动能、系统的势能和总能量。 解：设物体的振动方程为 x?Acos(?t??) 由于 A?24cm， T?4s ? ??2??? T2由于 t?0,x0?24cm ? cos??1 ? ??0，因此 x?24cos?(1) 将 t?0.5s代入，得到 x?24cos2???t? ?2??4?122?16.97cm?0.17m
?3(2) f??m?x 将t?0.5s代入，得到f??10?10?负号表示方向与x轴方向相反。 (3) 将x?12m代入x?24cos??24?0.17??4.2?10?3N
2??????1t?中，得到 cos?t?? ?t?s
3?2??2?2(4) V??12??10sin??223?????0.326ms?1 t? ，将t?s代入得V??12??10?2?32?2?EK?由
11mV2??10?10?3?36?3??2?10?4?5.33?10?4J 22???25?2k2?3??10kgs?2 ? k?m??10?10?42m1215?2?10?3?0.122?1.78?10?4J 因此 EP?kx??222E?EK?EP?5.33?10?4?1.78?10?4?7.11?10?4J
5.14 有一轻弹簧，下端悬挂一质量为0.1kg的砝码，砝码静止时，弹簧伸长0.05m。如果我们再把砝码竖直拉下0.02m，求放手后砝码的振动频率和振幅。
解：取砝码静止时的位置为平衡位置，并令为坐标原点，向下为正方向，则有
mg?kx0 ? k?mg/x0
当下拉x位置时，砝码所受回复力为
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f??k(x0?x)?mg??kx
因此砝码作简谐振动 a?fk??x ? ??mmk mv??1?2?2?k1?m2?mg/x01?m2?g?2.2Hz x0将初始条件 x0?0.02m,V0?0 代入振幅公式：
20A?x?
V02?2?0.02m
5.15 一轻弹簧的劲度系数为k，其下端悬有一质量为M的盘子。现有一质量为m的物体从
离盘底为h高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动。若以物体落到盘底时为计时零点、以物体落到盘子后的平衡位置为坐标原点、以向下为x轴正向，求盘子的振动方程。
解：令m与M系统处于平衡位置处为坐标原点，向下为正方向
m未下落时，满足: Mg?kx1
m与M平衡位置处: (m?M)g?k(x1?x2)
联立解得 x2?mg k由动量守恒： mV?(m?M)V? 且 V?2gh
得到 V??m2gh
m?Mm?M2? ? ???kTk
m?M而且它们共同振动的周期 T?2?将初始条件 t?0，x0??x2，V0?V??m2gh代入振幅及位相公式：
m?MA?x?20V02?2?m2g22m2gh/(m?M)2mg2kh??1? 2k/(m?M)k(M?m)gktan???V02kh ??x0(m?M)g 14
由于 x0?0， V0?0 ? ??(?,因此
3?) 2??arctg2kh??
(M?m)g将已求出的A、?和?代入x?Acos(?t??)中，即可得振动方程为
x???mg2khk2kh? 1?cos?t?arctg????k(M?m)g(M?m)g?M?m?5.16 一个水平面上的弹簧振子(劲度系数为k，所系物体质量为M)，当它作振幅为A、周
期为T、能量为E的无阻尼振动时，有一质量为m的粘土从高度h处自由下落。当M达到最大位移处时粘土正好落在M上，并粘在一起，这时系统的振动周期、振幅和振动能量有何变化？如果粘土是在M通过平衡位置时落在M上，这些量又如何变化？
解:原周期为T0?2?mm?M，两种情况下周期都变为T1?T2?2??T kk(1) 当M达到最大位移处时粘土正好落在M上时，此时物体水平速度为零 动量守恒得到： MV0?(m?M)V1 且 V0?0 ? V1?0 将初始条件 x0?A， V0?V1?0代入振幅公式
?V?2A1?x0??0??A ? E1?E
??1?(2) 当粘土在M通过平衡位置时落在M上时，由水平方向动量守恒得到
2MV0?(m?M)V2 且 V0??0A ? V2?MA?0
m?M将初始条件 x0?0，V0?V2?2MA?0 ，代入振幅公式：
m?MV0?V0?MA?0MAT2M2?A2?x0????????A?A ????2m?M?2m?MT0m?M?2?M2E?E 由E?A ? E2?m?M
5.17 一单摆的摆长l?1.0m，摆球质量m?0.01kg，当摆球处在平衡位置时，若给小球一
?2?1个水平向右的冲量I?50?10kg?m?s，取打击时刻为计时起点(t?0)，求振动的初位
相和角振幅[设摆角向右为正]。 解：由单摆的动力学方程
???mcos?(t??)，将初始条件 t?0，??0代入
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