得到 cos??0? ????2。由于 V0?0? sin??0?????2
?d???m?cos?t ????mcos(?t?)??msin?t ?
2dt其中
??d?I0.5g???50s?1 ?9.8?3.13s?1， 初始时刻
dtml0.01l?m?d?/dt??50?15.97rad 3.135.18 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为
x1?0.04cos?2t?????5????[式中x以米计，t以秒计] ?，x2?0.03cos?2t?66???试分别用旋转矢量法和代数法求合振动的振幅和初位相，并写出合振动的方程。 解：由题意 A1?0.04，A2?0.03， ?1??5?， ?2?? 66由于 ????2??1??? ? A?A1?A2?0.01m
tan??A1sin?1?A2sin?2?3 ? ?? ?6A1cos?1?A2cos?23??因此，合振动方程为 x?0.01cos?2t???? 6?
5.19 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为0.20m，位相与第一振动的
位相差为1，已知第一振动的振幅为0.173m，求第二个振动的振幅以及第一、第二6?两振动的位相差。
解：由分振动与合振动的三角形关系： A2?A1?A?2A1Acos
222?6代入数据 A2?0.01m ? A2?0.1m 由于 A?A1?A2?2A1A2cos??
2A2?A12?A2?得到 co?s???0 ? ???
22A1A22222
5.20 试借助旋转矢量图求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：
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????????x?5cos3t?cmx?5cos3t?????cm?1?133????? ?2?? ?1???7??4???x?5cos??x?5cos?3t?cm3t?????cm22??3?3??????7?解(1)：由题意：A1?5，A2?5， ?1?， ?2?
33由于 ????2??1?2? ? A?A1?A2?10cm?0.1m (2) 由题意：A1?5，A2?5， ?1??4?， ?2? 33由于 ????2??1?? ? A?A1?A2?0 5.21 质量为0.1kg的质点同时参与两个互相垂直的简谐振动： x?0.06co?st????3??3??，y?0.03cos?????t??，式中x以米计，t以秒计。
6??3(1) 求质点的运动轨道方程；(2) 求质点在任一位置所受的作用力；(3) 利用Mathematica，
绘出合成振动的轨迹。 解：(1) 由于 x?0.06cos?????????t???0.06sin?t??
3?6??3?3x2y2??1 结合y的表示式，得到轨道方程为： 220.060.03?????2(2) F?Fxi?Fyj??m?(xi?yj) ??0.1??2????????????0.06cost?i?0.03cost?????j? ?9?3?6???3?3????????????0.0066cos?t??i?0.0033cos?t??j
3?6??3?3
5.22一质点同时参与两个互相垂直的简谐振动：x?Acos2?t，y?Acos3?t，求质点的运动轨道方程。
cos6?t?1A2?(cos6?t?1) 解：由于 y?Acos3?t ? y?Acos3?t?A222222cos6?t?cos(4?t?2?t)?cos4?tcos2?t?sin4?tsin2?t
?(2cos22?t?1)cos2?t?2sin22?tcos2?t
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xx22由于 x?Acos2?t ? cos2?t? ? sin2?t?1?2
AA?2x2?xx?x2?4x33x所以 cos6?t???A2?1??A?2A??1?A2???A3?A
????A2代入y得到：y?222?4x33x?2x33AxA2??A3?A?1???A?2?2 ??233AA2x?所求轨道方程为：y?x?
A2225.23 某质点的位移可用两个简谐振动的迭加来表示：x?Asin?t?2Asin2?t
(1) 写出这质点的速度和加速度表示式；(2)这运动是否简谐振动？(3)画出其x?t图线。 解：(1) V?dx?A?cos?t?4A?cos2?t dtdVa???A?2sin?t?8A?2sin2?t
dt(2) 由于a与x不成正比，所以不是简谐振动。 (3) 取A?2,??1，执行Mathematica 命令
Plot2Sint4Sin2t,t,0, 2 立即得到x?Asin?t?2Asin2?t的x?t图线，如下图。
???????1234542-2-4
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习题六参考解答
6.1 简要回答下列问题：
(1) 振动和波动有什么区别和联系？
(2) 平面简谐波的波动方程和简谐振动的振动方程有什么不同？又有什么联系？ (3) 振动曲线和波形曲线有什么不同？ (4) 平面简谐波波动方程y?Acos???t?????x?x?中的表示什么？如果将波动方???0?cc??程改写为y?cos??t????x??x又是什么意思？ ??0?，cc?(5) 波动方程中，坐标轴原点是否一定要选在波源处？t?0时刻是否一定是波源开始振动的时刻？波动方程写成y?Acos??t???x??时，波源一定在坐标原点处吗？在c?什么前提下波动方程才能写成这种形式？如果波源在x??10m处或在x?5m处，则对此波动方程的适用范围要作怎样的限制？
(6) 波源向着观察者运动和观察者向波源运动都会产生频率增高的多普勒效应，这两种情况有何区别？
6.2 下述说法中哪些是正确的？
(A) 波只能分为横波和纵波； (B) 波动质点按波速向前运动；
(C) 波动中传播的只是运动状态和能量； (D) 波经过不同媒质传播过程中波长不变。 答案：(C)
6.3 对于机械横波，
(A) 波峰处质元的动能、势能均为零；
(B) 处于平衡位置的质元势能为零、动能为最大； (C) 处于平衡位置的质元动能为零、势能为最大； (D) 波谷处质元的动能为零、势能为最大。 答案：(A)
6.4 对于驻波，下列说法中哪些是错误的?
(A) 相向传播的相干波一定能形成驻波； (B) 两列振幅相同的相干波一定能形成驻波； (C) 驻波不存在能量的传播；
(D) 驻波是一种稳定的振动分布。 答案：(A)、(B)
6.5 人耳能辨别同时传来的不同声音，这是由于
(A) 波的反射和折射； (B) 波的干涉；
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(C) 波的独立传播特性； (D) 波的强度不同。 答案：(C)
6.6 波源在xy坐标系中（3，0）位置处，其振动方程是y?1.0?10?2cos120?tm，其中t以s计，波速为50m/s。设波源发生的波沿x轴负向传播，介质无吸收，则此波方程为
(A) y?0.01cos?120?t???x??m; 50?x??m; 50?x??m; 50?x?)?1.2??m。 50?(B) y?0.01cos120??t?????(C) y?0.01cos120??t?(D) y?0.01cos?120?(t?答案：(D)
??6.7 两波同时在一弦线上传播，其波动方程分别是y1?3?10?2cos?(0.1x?10t)，
y2?3?10?2cos?(0.1x?10t)，其中x、y以m计，t以s计。弦线上波节位置为
(A) x?5(2k?1)m , k?1,?1,?2? (B) x?5(k?2)m , k?1,?1,?2? (C) x?0,5,10,?; (D) x?0,10,20?
参考答案：(A)
6.8 一弦线上的振动以厘米?克?秒制表示为y?1.0cos?1?1xcos4t，组成此振动的两波波速是 3?1?1(A) 4/3ms; (B) 12/?cms; (C) 0.18ms; (D) 12cms∝ 答案：(D)
6.9 一点波源发出的波在无吸收媒质中传播，波前为半球面。该波强度I与离波源距离r间的关系是
?1/2?3/2?2(A) I∝r; (B) I∝1/r; (C) I∝r; (D) I∝r。
答案：(D)
6.10 当波源以速度V向静止的观察者运动时，测得频率为v1，当观察者以速度V向静止的波源运动时，测得频率为v2，以下哪个结论是正确的？
(A) v1?v2; (B) v1?v2; (C) v1?v2; (D) 要视波速大小决定上述关系。 答案：(A)
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