16、梁的跨度为L、抗弯刚度EI为常量，B支座位于梁的中点。写出在图示的坐标系下的边界条件及连续性条件 。 20、图示中两根材料相同的梁A和B，当自由端具有相同的位移时，最大应力较大的梁是 ，其最大正应力＝ 。
答案 边界条件： x1=0 y1=0； x1=L/2 y1=0； x2=L/2 y2=0；
连续性条件：x1=x2=L/2 y1=y2’；
’
答案 B梁；ζ
max
=P2L/Wz=6P2L/bh
2
答疑B梁的抗弯刚度大，在二者自由端的挠度相同时，B梁的内力大，固B梁的应力较大； 最大应力为ζ
max
答疑 在固定铰支处挠度为零；左右两段梁在活动铰支处的挠度均为零；在活动铰支处的转角相同。
17、图示中的边界条件为x=0，yA=0；x=L，yB= 。右端的弹簧刚度为K。
=M/Wz=P2L/Wz=6P2L/bh
2
21、用积分法求梁的变形时，边界条件为 ，连续条件为 。并大致画出挠曲线的形状。
答案 yB=P/2K
答疑 通过受力分析得到B处弹簧受力为P/2，弹簧的变形为P/2K。梁与弹簧接触，固梁在B处的挠度等于弹簧的变形，所以有yB= P/2K。 18、简支梁的抗弯刚度EI已知，A位于梁的中间截面处，则中性层在A处的曲率半径为ρ＝ 。
’
答案 边界条件：x=0 y=0 y =0 x=2a y =0
x=3a y
‘’
=0 连续条件 x=a y左=y右
答疑 固定端处挠度、转角均为零；中间铰处左右两侧的挠度相
‘’
等；活动铰支处挠度为零；在自由端处弯矩为零即y =0。 简述 弯曲变形
2
答案 ρ＝8EI/ qL
答疑 简支梁在中间截面处的弯矩为qL/8，根据曲率与弯矩之间
22
的关系1/ρ=M(x)/EI有1/ρ= qL/8/EI＝qL/8EI，从而得到中性层
2
处的曲率半径为ρ＝8EI/ qL。
19、用积分法求图示梁的变形时，边界条件为 ；连续条件为 。
2
1、在XY坐标系中，已知等直梁的挠曲线方程为
323
v=qx(L-3Lx+2x)/48EI。求①最大弯矩及最大剪力。②梁的两端（x=0、x=L）的约束情况。③画出此梁的受力图
答疑根据挠曲线微分方程EIy’’=M(x),将已知的挠曲线方程求
2
二阶导数得到：v’’=q(-18Lx+24x)/48EI,从而得到弯矩方程为
2
M(x)=q(-3Lx/8+x/2),将弯矩方程对x求一阶导数得到剪力方程为Q(x)=q(-3L/8+x)。剪力为零的点弯矩取得极值，所以弯矩的极值点发生在x=3L/8处，固梁的最大弯矩为：M=q(-3L/8×
23
3L/8+(3L/8)/2)=-qL/128。剪力的一阶导数为q，且一阶导数值大于零，说明剪力是递增函数，在整个梁上作用有均布载荷且均方向向上。固剪力的最大值发生在x=L处，大小为Q=5qL/8。
将x=0分别代入剪力方程、弯矩方程得到Q=-3ql/8、M=0； 将x=L分别代入剪力方程、弯矩方程得到Q=5ql/8、M=qL/8；
2
答案边界条件：x=0 y1=0 y1=0
x=3a y3=0
’
‘’
连续条件 x=a y1=y2 y1=y2
x=2a y2=y3
答疑在左端固定端处，挠度为零，转角为零；在右端活动铰支处挠度为零； 在力的作用点处挠度相等、转角相等；在中间铰处挠度相等，转角不等。
根据x=0时剪力不为零，弯矩为零可以断定左端为自由端，且受向下的集中力的作用，集中力的大小为3ql/8；在x=L剪力不为零、弯矩不为零可以断定，梁的右端为固定端。 梁的受力及约束如下：
答疑 弯曲变形时在中性层处的正应力为零；由于梁受纯弯，横截面上没有剪力的作用，固中性层处的剪应力为零。
a图中的最大弯曲正应力为ζ=M/W=12M/bh、最大挠度为f=12×23
ML/2Ebh；图ｂ中的两梁迭放，每一梁承担弯矩的一半M/2，最大弯
33
曲正应力为ζ=M/W=12M/2/b(h/2)=48M/bh、最大挠度为
2323
f=M/2L/2Eb(h/2)/12=48ML/2Ebh。
5、若只在悬臂梁的自由端作用有弯曲力偶M，使其成为纯弯曲，则由 1/ρ=M/EI知ρ为常量，挠曲线应为圆弧。若由y’’=M(x)/EI
2
积分，将得到y=Mx/2EI，它表面挠曲线是一条抛物线。为何产生这样的差别？
答疑 y’’=M(x)/EI称为挠曲线的近似微分方程，近似微分方程
答案 圆弧状
答疑 由于梁上作用有力偶，固梁的弯矩方程为常量M(x)=M。根据曲率与弯矩之间的微分关系1/ρ= M(x)/EI＝ M/EI，所以梁中性层的曲率半径为常量，挠曲线为圆弧状；
3、等截面悬臂梁EI已知，梁的下面有一刚性曲面，曲面方程为y=-ax,欲使梁在变形后与曲面重合且曲面不受压力，梁上应作用什么样的载荷？并绘制梁的载荷图及梁的内力图。
答案 左细右粗的锥状
3
3
2、钢制悬臂梁在自由端受到力偶M后发生弯曲，在小变形情况下作工程计算时，其挠曲线是圆弧状还是二次抛物线？还是二者均可？为什么？
是由挠曲线微分方程
的量y’而得到，因此会产生此差别。 6、细长工件，加工完成后会变成什么形状？
中忽略了非常小
答疑 对曲面方程y=-ax求二阶导数得到y’’=-6ax。欲使梁在变形后与曲面重合且曲面不受压力，梁的挠曲线与曲面重合。将曲面的二阶导数代入挠曲线微分方程得到：-6aEIx=M(x)，从而得到梁的弯矩方程为M(x)＝-6aEIx。将弯矩方程求一阶导数、二阶导数分别得到剪力方程为Q(x)=-6EIa、均布载荷集度为q(x)=0。由均布载荷的集度为零可以断定梁上不作用有均布载荷；由于剪力方程为常量说明在梁的自由端上作用有集中力，集中力的大小为6EIa、方向向上；根据梁的弯矩方程M(x)＝-6aEIx可知，在梁的自由端处弯矩的大小为6aEIL、方向瞬时针；梁的载荷图以及内力图如下：
3
答疑 在车刀的作用下相当于悬臂梁受集中力的作用，当车刀位于自由端时，悬臂梁有最大的向上的挠度，被车削掉的较少，加工后的横截面直径偏大；随车刀向固定端移动，悬臂梁的变形较小，被车削掉的部分较多，加工后的横截面直径偏小。最后成为固定端处截面细、自由端处截面粗的锥状。
7、使梁变形后与刚性曲面重合，但不产生压应力，应如何施加外载？
答案 自由端施加瞬时针的大小为EI/R的力偶
答疑 梁在变形后与刚性曲面重合也就是梁在变形后的挠曲线与刚性曲面重合，刚性曲面的半径就是挠曲线的曲率半径，根据挠曲线的曲率半径与弯矩之间的关系有1/R=M(x)/EI，考虑到梁的抗弯刚度EI为常量，挠曲线的曲率为常量，固梁上的弯矩M(x)也是常量，大小为M(x)＝EI/R。固应在自由端施加瞬时针的大小为EI/R的力偶。 8、写出边界条件与连续性条件、弹簧常数为K。
4、高度h、宽度b的梁受力偶M的作用，如图（ａ）所示，问中性层上的正应力、剪应力各等于多少？在该力偶的作用下是否可以认为图（ｂ）中的高度为h/2，宽度为b的两根梁的迭放在强度与刚度方面与之完全相同？为什么？
答案 中性层处的正应力为零；中性层处的剪应力为零；不同
答案 边界条件 x=0 y1=0； x=a+b y2=N/K=Pa/(a+b)K
连续性条件x=a y1=y2 y1=y2
’’
答案 此建议不合理
答疑 钢轴的弯曲刚度不够，说明钢轴的变形过大。根据弯曲变形的挠曲线近似微分方程EIy’’=M(x)/EI可以看出，梁的变形与梁的内力大小、截面惯性矩、梁的材料有关。考虑到各种钢材的弹性模量E的变化不大，尽管选择了优质钢，但对提高弯曲刚度的效果不大，且增加成本。一般情况下应考虑通过降低梁承受的弯矩、提高截面的惯性矩、等强度梁等办法来提高梁的弯曲刚度。
13、已知梁的挠曲线方程为EIy=-qx/120L。问(1)在x=0和x=L两端点处的约束如何？(2)最大弯矩和最大剪力各是多少？(3)梁上的载荷如何分布？
答疑 将梁的挠曲线方程求二阶导数得到：EIy’’=-qx/6L,从而
32
得到梁的弯矩方程为M(x)= -qx/6L。其中： M(0)＝0；M(L)＝－qL/6；说明梁的左端为自由端，右端为固定端。
3
3
5
答疑 x=0处为固定铰链支座，此处的挠度为零；在x=a+b处为弹性支撑，梁的挠度等于弹簧的变形，弹簧的受力根据静力平衡求解大小为Pa/(a+b)；在外力的作用点x=a处满足连续性条件，挠度相同，转角相同。
9、写出梁的挠曲线近似微分方程及边界条件。
答案 近似微分方程 EIy’’= qL(L-x)/6-q(L-x)/6L 边界条件x=0 y=0； x=L y=Na/EA=qla/6EA
对弯矩方程求一阶导数得到剪力方程为Q(x)=-qx/2L。由于梁的剪力始终小于零，说明梁的弯矩呈下降趋势，固梁的最大弯矩值为
2
0，弯矩的最大绝对值为qL/6。
2
答疑 对左端的固定铰支取矩求拉杆的受力为：N=qL/6。在图示坐
’’对剪力方程求一阶导数得到载荷集度为q(x)=-qx/L。由于梁的标系下梁的弯矩方程为：M(x)=N(L-x)-q(L-x)/2×(L-x)/3。其中q
’
为x处的线性分布载荷的最大挠度，通过几何关系得到q=q(L-x)/L，载荷集度始终小于零，说明剪力呈下降趋势，考虑到Q(0)=0、
3
代入弯矩方程得到：M(x)= qL(L-x)/6-q(L-x)/6L。所以挠曲线的近Q(L)=-qL/2，固最大剪力值为零；剪力的最大绝对值为qL/2。梁的
3左端无集中力的作用。 似微分方程为EIy’’= qL(L-x)/6-q(L-x)/6L。
梁的左端为固定铰支、挠度为零；在右端由拉杆连接，梁的右
端的挠度等于拉杆的伸长量。
10、图示中梁的跨度为L，B处为一刚度为K的弹簧，写出挠曲线近似微分方程，写出梁的边界条件。
由于梁的载荷集度为q(x)=-qx/L，说明梁上作用有线性分布的载荷，由q(0)=0、q(L)=-q说明分布载荷从梁的左端开始呈递增趋势，且方向向下。梁的载荷图如下：
答案 近似微分方程 EIy’’=3qL(L-x)/2-q(L-x)/2； 边界条件 x=0 y=0； y=N/K=3qL/2K
x=L
2
14、在中国古代的木结构建筑中，在上梁与柱的连接处，往往采用一种独具风格的斗拱结构。从材料力学的观点分析一下这种在世界上特有的结构方式有什么优点。
答疑 对梁的左端取矩得到弹簧的受力为N＝3qL/2，在图示坐标系下梁的弯矩方程为
22
M(x)=N(L-x)-q(L-x)/2=3qL(L-x)/2-q(L-x)/2，从而得到梁的挠曲
2
线近似微分方程为EIy’’=3qL(L-x)/2-q(L-x)/2。
梁的左端为固定铰支，此处挠度为零；在梁的右端为弹性支撑， 答疑 改善梁的受力，将梁承受的集中约束反力分散，从而降梁的变形等于弹簧的变形。 低梁承受的最大弯矩，提高梁的抗弯强度。 11、从弯曲的理论解释为什么传动轴上的齿轮或带轮总是避免放置在跨中，而尽量靠近轴承处。
答疑 传动轴在工作时可以简化为简支梁，传动轴上的齿轮或带轮传递给传动轴一个集中力的作用。如果将齿轮或带轮安装在跨中，此时传动轴承受最大弯矩，大小为集中力与传动轴跨度乘积的四分之一；如果齿轮或带轮尽量靠近轴承处，此时传动轴承受的最大弯矩总小于集中力与传动轴跨度乘积的四分之一，从而提高了传动轴的弯曲强度。
12、在设计中，一受弯的碳素钢轴的刚度不够，有人建议改用优质合金钢，此项建议是否合理？
15、对于受弯曲的梁能否通过采用高强度材料提高其刚度？ （ 能、不能） 答案 不能
答疑 梁的弯曲变形y’’=M(x)/EI，不仅与材料有关，还与内力、横截面的形状有关，提高梁的弯曲刚度应该从减低梁的内力、提高截面的惯性矩着手，而不应该采用高强度钢材。各种钢材的弹性模量变化不大，不仅不能提高强度，反而增加成本。
16、建筑工地中常用的钢筋混凝土结构，在设计上布置钢筋承受拉力，混凝土承受压力，这有什么好处？今有一座钢筋混凝土结构的桥梁，
在使用中出现了险情：列车通过时跨中挠度超出了设计要求。有人建议在桥梁的中间部位再加一个桥墩。此方案可行吗？为什么？并请你提出一个可行的方案。 答疑 钢筋是塑性材料，抗拉压强度相同，一般作受拉构件；而混凝土为脆性材料，抗压不抗拉，在钢筋混凝土结构中，在布置上使钢筋承受拉力，补充了混凝土材料的不抗拉的弱点，从而提高了混凝土结构的抗拉强度。 列车通过时跨中挠度超出了设计要求，说明桥梁的变形过大，应减少桥梁的变形。在桥梁的中间部位再加一个桥墩，可以减少桥梁的变形，从理论上讲此方案可行。但从实际的工程施工情况来看，一座桥梁建好后再安置一桥墩，工程施工中很难实现。比较好的办法是通过提高截面的惯性矩来提高桥梁的抗弯刚度，为此可以在桥梁上安装斜拉索、或安装桁架结构，如图所示。 答案 此说法正确
答疑 任何的点都可以找到它的主单元体。 5、“受拉构件内B点的正应力为ζ=P/A”
答案 此说法错误
答疑 受拉构件内的B点在α＝0度的方位上的正应力为ζ=P/A。
6、受拉构件内，过C点沿与轴线成45度角的斜截面截取单元体，“此单元体的四个面上均有正应力和剪应力，此单元体处于二向应力状态“
第七章 应力状态与强度理论1 1、 一点的应力状态的概念； 2、 主应力、主平面的概念； 3、 应力状态的分类； 4、 平面应力状态分 重点 析的解析法； 5、 平面应力状态分析的应力圆法； 6、 广义虎克定律以及其应用； 难点
答案 此说法错误
1、提取一点的应力状态； 2、主平面的方位； 3、最大剪应力的数值及其所在的方位； 4、广义虎克定律的应用； 答疑 过C点沿与轴线成45度角的斜截面截取单元体的四个面上
均有正应力和剪应力存在，但此单元体是单向应力状态，不是二向应
1、 一点的应力状态的表示方法和应力状态的分类； 2、 力状态。判断单元体是几向应力状态的依据是单元体的主应力有几个
主应力、主平面、主单元体的概念； 3、 压力容器；不为零，该单元体的主应力为ζ1= P/A、ζ2=0、ζ3=0，固是单向应4、 解析法和图解法分析平面应力状态； 5、 三向力状态。
基本知识应力状态的概念； 6、 已知一个主应力求另外二个点 主应力； 7、 三向应力圆草图； 8、 复杂应力状7、“弯曲变形时梁中最大正应力所在的点处于单向应力状态。”
态下的广义胡克定律及其工程应用； 9、 复杂应力状态下应变比能的概念； 答案 此说法正确 判断 一点的应力状态 1、“包围一点一定有一个单元体，该单元体各面只有正应力而无剪应力。” 答案 此说法正确 答案 此说法正确
答疑 包围一点的单元体一定有一个主单元体。 2、“单元体最大剪应力作用面上必无正应力” 答案 此说法错误 答疑 在最大、最小正应力作用面上剪应力一定为零；在最大剪应力作用面上正应力不一定为零。拉伸变形时，最大正应力发生在横截面上，在横截面上剪应力为零；最大剪应力发生在45度角的斜截面上，在此斜截面上正应力为ζ/2。 答疑 最大正应力就是主应力，主应力所在的面剪应力一定是零。
答疑 最大正应力位于横截面的最上端和最下端，在此处剪应力为零。
8、“在受力物体中一点的应力状态，最大正应力作用面上剪应力一定是零”
9、“过一点的任意两平面上的剪应力一定数值相等，方向相反” 答案 此说法错误
答疑 过一点的两相互垂直的平面上的剪应力一定成对出现，大小相等，方向同时指向共同棱边或同时远离共同棱边
3、”单向应力状态有一个主平面，二向应力状态有两个主平面” 10、“梁产生纯弯曲时，过梁内任意一点的任意截面上的剪应力均等
于零”
答案 此说法错误 答案 此说法错误
答疑无论几向应力状态均有三个主平面，单向应力状态中有一个主平面上的正应力不为零；二向应力状态中有两个主平面上的正应力不为零。 4、“通过受力构件的任意点皆可找到三个相互垂直的主平面。” 答疑 梁产生纯弯曲时，横截面上各点在α＝0的方位上剪应力为零，过梁内任意一点的任意截面上的剪应力不一定为零。
11、“从横力弯曲的梁上任意一点取出的单元体均处于二向应力状态“
答案 此说法错误
答疑 从横力弯曲的梁的横截面上距离中性轴最远的最上边缘和最下边缘的点取出的单元体为单向应力状态。
12、“受扭圆轴除轴心外，轴内各点均处于纯剪切应力状态”
5、受内压作用的封闭薄壁圆筒，在通过其壁上任意一点的纵、横两个截面中 。
A：纵、横两截面均不是主平面； B：横截面是主平面、纵截面不是主平面；
C：纵、横二截面均是主平面； D：纵截面是主平面，横截面不是主平面；
答案正确选择：C
答案 此说法正确
答疑 在受扭圆轴内任意取出一点的单元体如图所示，均为纯剪切应力状态。
答疑 在受内压作用的封闭薄壁圆筒的壁上任意取一点的应力状态为二向不等值拉伸，其ζx=pD/4t、ζy=pD/2t。单元体上无剪应力的作用，固纵、横截面均为主平面。
6、水管结冰，管冻裂而冰不坏。是因为 。
A：冰强度高； B：冰处于三向受压； C：冰的温度高； D：冰的应力等于0； 答案 正确选择：B 答疑 水结冰后体积增大，向三个方向膨胀，而水管阻碍了冰的膨胀，使得冰处于三向压缩应力状态，固冰不易发生破坏；而水管简化为圆柱型容器，处于二向拉伸应力状态，容易发生破坏。 填空 一点的应力状态
1、钢制直角曲拐的直径为d，受力如图，用单元体表示危险点的应力状态为： 。
选择 一点的应力状态 1、在单元体中可以认为： 。
A：单元体的三维尺寸必须为无穷小； B：单元体必须是平行六面体。 C：单元体只能是正方体。 D：单元体必须有一对横截面 答案 正确选择：A
答疑 单元体代表一个点，体积为无穷小。
2、滚珠轴承中，滚珠与外圆接触点为 应力状态。 A：二向； B：单向 C：三向 答案 正确选择：C
答疑 接触点在铅垂方向受压，使单元体向周围膨胀，于是引起周围材料对接触点在前后、左右方向的约束应力。 3、厚玻璃杯因沸水倒入而发生破裂，裂纹起始于 。 A：内壁 B：外壁 C：内外壁同时 D：壁厚的中间
D：纯剪切
答案 答疑
危险点位于固定端处截面的最上端。内力的大小为：弯矩M=PL、扭矩T=Pa。在危险点的横截面上有弯矩产生的拉应力ζ=M/Wz=32PL/
3
πd3，有由扭矩产生的扭转剪应力η=T/Wt=16Pa/πd。 2、图示中的a、b两点的应力状态是否正确？
答案 正确选择：B
答疑 厚玻璃杯倒入沸水，使得内壁受热膨胀，外壁对内壁产生压应力的作用；内壁膨胀使得外壁受拉，固裂纹起始于外壁。 4、在1、2、3、4四点的应力状态中， 是错误的。
答案 错误
答疑 扭转剪应力的作用面错误。在此二点的横截面上存在由扭矩产生的剪应力，此剪应力应该位于横截面上，而图示中单元体的扭转剪应力的位置不是横截面。正确的应力状态是：
答案 正确选择：4
答疑 在点4处由弯矩产生压应力；在剪力Q的作用下产生剪应力；但点4处的剪应力的方向错误。在单元体的右侧截面上剪应力的方向向上。