3、“只要满足线弹性条件，就可以应用挠曲线的近似微分方程” 答案 此说法错误 答案 此说法错误
答疑 挠曲线近似微分方程的应用条件是：线弹性、小变形。 4、“两梁的抗弯刚度相同、弯矩方程相同，则两梁的挠曲线形状相同”
答案 此说法正确
答疑如果两梁的抗弯刚度相同、弯矩方程相同，根据挠曲线微分方程y’’=M(x)/EI可知挠曲线的二阶导数相同，积分的结果相同。 5、“梁的挠曲线方程随弯矩方程的分段而分段，只要梁不具有中间
铰，梁的挠曲线仍然是一条光滑、连续的曲线。” 答案 此说法正确
答疑 在分段处梁满足连续性条件。
答案正确选择：C、B、A、C
6、“最大挠度处的截面转角一定为0” 答案 此说法错误
答疑 根据挠曲线微分方程y’’=M(x)/EI，积分分别得到转角方程θ(x)＝∫M(x)/EIdx、挠曲线方程 v(x)＝∫[∫M(x)/EIdx]dx，挠曲线的一阶导数为y’(x)＝∫M(x)/EIdx＝θ(x)，由此可知：在转角为零处，挠度取得极值，但不是最值。 7、“最大弯矩处的挠度也一定是最大” 答案此说法错误
答疑 根据挠曲线微分方程y’’=M(x)/EI说明挠曲线在最大弯矩处有最大的二阶导数值，但挠度不一定是最大的；例如悬臂梁的最大弯矩发生在固定端处，在此处梁的挠度不是最大
8、“梁的最大挠度不一定是发生在梁的最大弯矩处。” 答案
9、“只要材料服从虎克定律，则构件弯曲时其弯矩、转角、挠度都可以用叠加方法来求” 答案 此说法错误
答疑 叠加法应用的前提是：小变形、材料服从虎克定律。 10、“两根几何尺寸、支撑条件完全相同的静定梁，只要所受的载荷相同，则两梁所对应的截面的挠度和转角相同，而与梁的材料是否相同无关”
答案 此说法错误
答疑 梁的变形与材料有关。
11、“一铸铁简支梁在均布载荷的作用下，当其横截面相同且分别按图示两种情况放置时，梁同一截面的应力和变形均相同”
答疑 当悬臂梁的横截面直径为d时的最大正应力为ζ=M/Wz=32M/
3334
πd，最大挠度为v=PL/3EI=64PL/3Eπd；当梁的直径减少一半其
33
他条件不变时梁的最大正应力为ζ=M/Wz=32M/π(d/2)=8×32M/πd,
3’
固最大正应力是原来的8倍；此时梁的最大挠度为v= PL/3EI
3434
=64PL/3Eπ(d/2)=16×64PL/3Eπd,最大挠度是原来的16倍。若梁的长度增大一倍，其他条件不变，此时最大弯矩为2M，抗弯截面系数不变，此时最大正应力是原来的2倍，此时梁的最大挠度为
33
v=P(2L)/3EI=8PL/3EI,固梁的最大挠度是原来的8倍。 2、y’’=M(x)/EI在 条件下成立。
A：小变形； B：材料服从虎克定律； C：挠曲线在xoy面内； D：同时满足A、B、C； 答案 正确选择：D
答疑 挠曲线的适用范围是线弹性、小变形。如果采用y’’=M(x)/EI的形式就必须设轴线方向为x轴，横截面的位移方向为y轴，固挠曲线在xoy平面内。
3、等直梁在弯曲变形时，挠曲线最大曲率发生在 处。 A：挠度最大； B：转角最大 C：剪力最大； D：弯矩最大；
答案 正确选择：D
答疑 根据挠曲线曲率与弯矩之间的关系1/ρ=M(x)/EI可得，挠曲线的曲率与弯矩成正比，在弯矩最大处曲率最大。 4、在简支梁中 ，对于减少弯曲变形效果最明显。 A：减小集中力P； B：减小梁的跨度； C：采用优质钢；
D：提高截面的惯性矩
答疑 截面正放与倒放，截面对中性轴的惯性矩没有改变，固变形相同；但应力与截面的放置方式有关，正放或倒置时截面上距离中性轴最远的点到中性轴的距离不同，固同一截面上的应力不等。 选择 弯曲变形
1、圆截面的悬臂梁在自由端受集中力的作用，当梁的直径减少一半而其他条件不变时，最大正应力是原来的 倍；最大挠度是原来的 倍。若梁的长度增大一倍，其他条件不变，最大弯曲正应力是原来的 倍，最大挠度是原来的 倍。 A：2； B：16 C：8 D：4；
A:1/2 B:1/4 C:1/6 D:1/8
答案 正确选择：B
5、板条弯成1/4圆，设梁始终处于线弹性范围内：①ζ=My/IZ ,②y’’=M(x)/EIZ哪一个会得到正确的计算结果？
A：①正确、②正确； B：①正确、②错误； C：①错误、②正确； D：①错误、②错误；
答案 正确选择： D
答疑 跨度为L的简支梁在梁的中点受集中力P作用时，梁中点的
3
挠度为PL/48EI，跨度为2L的简支梁在梁的中点受集中力P作用时，
33
梁中点的挠度为P(2L)/48EI=8PL/48EI。固二者的最大挠度之比为1：8
10、图示中的二简支梁在跨度中点截面处的 。
答案 正确选择：B
答疑 ζ=My/IZ的适用范围是线弹性，只要梁的变形在线弹性范围内，不论变形的大小该公式均适用；y’’=M(x)/EIZ的适用范围是线弹性、小变形。此时板条已经弯成1/4圆，是大变形，不在小变形的范围内，固此公式不适用。
6、应用叠加原理求横截面的挠度、转角时，需要满足的条件是 。
A：梁必须是等截面的； C：变形必须是小变形； 答案 正确选择：C
答疑 在小变形、材料服从虎克定律的前提下，挠曲线的微分方程是线性的，计算弯矩时用梁在变形前的位置，结果弯矩与载荷的关系是线性的，这样对于几种不同的载荷，弯矩可以叠加，挠曲线微分方程的解也可以叠加。
7、圆轴采用普通碳钢制成，使用中发现弯曲刚度不够，提高轴的抗弯刚度的有效措施是： 。
A：热处理； B：选用优质合金钢； C；增大直径； D：提高表面光洁度； 答案 正确选择：C
B：梁必须是静定的；
D：梁的弯曲必须是平面弯曲。
A：转角和挠度均相等； B：转角和挠度均不等； C：转角相等、挠度不等； D：转角不等、挠度相等；
答案 正确选择：D
答疑 作用有均布载荷的梁在中点处的挠度为5ql/384EI；作用有线性分布的载荷梁的中点处的挠度等于同一梁上作用有2q的均布载荷的梁的中点挠度的一半，固线性分布载荷的梁在中点挠度的大小为
44
5(2q)l/384EI×1/2=5ql/384EI, 固二者在中间截面处的挠度相等。 均匀分布载荷的梁在中间截面处的转角为0，而线性分布载荷的梁在中间截面处的转角不为零。
11、已知一梁的挠曲线方程为：EIy=-qx(l-2lx+x)/24，所取的坐标系如图，则该梁的最大弯矩是： 。 A：ql/4; B：ql/8 C：ql/16
2
2
2
3
2
34
答案 正确选择：B
答疑 增大直径相当于提高截面的惯性矩。
答疑 根据挠曲线微分方程y=M(x)/EI,整理得到M(x)=EIy’’。
28、等直梁的最大弯矩处，局部增大直径， 。 将所给定的挠曲线方程求二阶导数得到EIy’’=q(lx-x)/2，固此梁
2
的弯矩方程为M(x)= q(lx-x)/2。欲使弯矩取得极值需要满足
A：仅提高强度； B：仅提高刚度； C：强度、刚度均有提高； dM/dx=0。求解dM/dx=0得到 x=L/2，即在梁的中间截面处弯矩取得
22
极值，大小为M=q(L×L/2-(L/2))/2=qL/8。取得极值，大小为M=q(L
22
×L/2-(L/2))/2=qL/8。 答案 正确选择：A
答疑 局部增大直径，可以使该处的最大应力降低，提高梁的弯曲
强度；由于梁的挠度是在整个梁上的积分，是累积效应，固不能明显地提高梁的弯曲刚度。
9、两简支梁的材料、截面形状、梁中点承受的集中力P均相同，而两梁的跨度之比为L1/L2=1/2，则其最大挠度之比为y1max/y2max= 。
12、C截面为梁的中间截面，在图示中的力的作用下，C截面左右两侧的转角 。
A：|θ左|＝|θ右| B：|θ左|>|θ右| C：|θ左|<|θ|
右
’’
答案 正确选择：A
答疑 梁的弯矩方程是分段函数，但梁的挠曲线是一条光滑连续曲线，在分段处满足连续性条件。
答案 正确选择：B
答疑 二者的支座反力相同；简支梁的中点作用有集中力时梁的最
32
大挠度v=PL/48EI,最大转角为θ＝PL/16EI，固二梁的最大挠度、最大转角均相同；二梁的最大弯矩相同，根据弯曲正应力与弯矩之间的关系ζ＝M/W，由于抗弯刚度相同，材料不同，固截面的惯性矩不同，抗弯截面系数也不同，所以最大正应力不同。
13、已知两梁的跨度、载荷均相同。比较图示中两梁的强度和刚度。
其中：2图为两根高度为h/2，宽度为b的矩形截面梁叠加而成的，16、图示中的悬臂梁，为减少最大挠度，则下列方案中最佳方案且相互间的摩擦不计，有 。 是 。 A：强度相同、刚度不同； C：强度、刚度均相同；
B：强度不同、刚度相同； A：梁长改为L/2，惯性矩改为I/8； B：梁长改为3L/4，惯性矩改为
I/2； D：强度、刚度均不同；
C：梁长改为5L/4，惯性矩改为3I/2； 矩改为I/4；
D：梁长改为3L/2，惯性
答案 正确选择：D
答疑 图1中梁的最大应力为ζ＝M/W=6PL/bh,最大挠度为
33
v=PL/3E×(bh/12)；图2中的两梁迭放，相当于两个独立的梁共同承担弯矩PL，有M1＋M2＝PL；两梁的挠曲线有相同的曲率1/ρ1＝1/ρ2，考虑到曲率与弯矩之间的微分关系 1/ρ1=M1/EI,1/ρ2=M2/EI，有M1/EI＝M2/EI。迭放在一起的上下两梁的抗弯刚度EI相等，得到两梁承担的弯矩相等，即有M1＝M2＝PL/2。那么其中一根梁内的最大
22
正应力为ζ＝M/W=PL/2/b(h/2)/6=12PL/bh,v= 3333
PL/3EI’=PL/2/3E(b(h/2)/12)=4PL/3E×(bh/12)。固二者的强度、刚度均不同。
2
答案 正确选择：B
答疑 正常情况下的最大挠度为v=FL/3EI，A方案的最大挠度为
33
vA=F×(L/2)/3E×I/8= FL/3EI=v；B方案的最大挠度为vB=F×
33
(3L/4)/3E×I/2= 27/32×FL/3EI=27/32v；C方案的最大挠度为vC=F
33
×(5L/4)/3E×3I/2= 125/96×FL/3EI=125/96v；D方案的最大挠度
33
为vD=F×(3L/2)/3E×I/4=27/2× FL/3EI=27/2v；
另外：一般情况下通过减小梁的跨度、增大截面惯性矩等办法来提高梁的弯曲刚度，固可直接判断得C、D方案不合理。
3
14、图示中的悬臂梁采用两种截面形式，一种为相同的矩形截面叠放而成，无胶接；另一种为完整的正方形截面。在小变形的情况下迭放
的梁内最大弯曲正应力是完整截面形式的梁的最大正应力的 17、T型截面铸铁梁在铅垂面内弯曲，若将截面倒置，则梁的强度和倍。 刚度与原来的相比 。 A：2； B：4； C：8； D：16；
A：强度提高、刚度不变； C：强度、刚度均提高；
B：强度降低、刚度不变； D：强度、刚度都降低；
答案 正确选择：A
答疑 完整的正方形截面梁的最大应力为ζ＝M/W=6PL/a，迭放的
23
梁内的最大正应力为ζ＝M/W=PL/2/a(a/2)/6=12PL/a。固迭放的梁内的最大正应力是完整截面的2倍。
3
答案 正确选择：B
答疑将截面倒置后，截面对中性轴的惯性矩没有改变，固刚度不变；但强度与截面的放置方式有关；此梁承受负弯矩，产生上拉下压的正应力，正放时，中性轴距离受拉一侧较近，最大拉应力较小，倒置时，中性轴距离受拉一侧较远，最大拉应力的数值较大，强度降低。
18、正方形截面分别按图示中的两种情形放置，则两者间的抗弯刚度
15、图示中的两个简支梁跨度相同，一根为钢，一根为铜，已知它们之间的关系为 。 的抗弯刚度EI相同，在相同的力P的作用下，二者的 不同。 A：支反力； B：最大正应力； C：最大挠度； D：最大转角；
A：(a)>(b)
定
B：(a)<(b)
C：(a)=(b)
D：不一
4、悬臂梁的抗弯刚度为EI，梁长为2L。坐标轴的原点在A处。①写出挠曲线近似微分方程 EIy’’= 。 ②当M＝3PL/2时，该悬臂梁转角θ＝0的截面位于x＝ 处。
答案 正确选择：C
答疑 正方形截面对于过形心的任何轴的惯性矩相等，固两种放置方式中的抗弯刚度相同。 填空 弯曲变形
1、应用叠加原理求梁的位移，必须满足的条件有 ， 。 答案 线弹性（材料服从虎克定律）、小变形。
答疑 在线弹性、小变形的条件下，挠曲线微分方程是线性的；在小变形的前提下，计算弯矩时用梁在变形前的位置，这样弯矩与载荷之间的关系是线性的，对于几种不同的载荷弯矩可以叠加，微分方程的解也可以叠加。
2、应用梁的挠曲线近似微分方程y’’=M(x)/EI时， 其使用条件应为： 。
答案 应力小于比例极限、小变形、剪力对变形的影响可以略去不计
答案 5qL/384EI
答疑 在推导此近似微分方程的过程中，忽略了转角dv/dx，近似认为挠曲线是一条很平坦的曲线，转角dv/dx非常小，忽略不计；在推导公式的过程中没有考虑剪力对变形的影响；
3、图示中静定梁的抗弯刚度为EI。D点的挠度为fD=-Pa/(3EI)，B
2
截面的转角为θB=5Pa/(6EI)，则D截面的转角为θD= ；C点的挠度为fC= 。
3
4
答案 挠曲线方程为EIy’’=M-P(2L-x)；转角等于零的截面位于x=0、x=L/2；
答疑 横截面的弯矩方程为M(x)=M-P(2L-x)；当M＝3PL/2时,弯矩方程为M(x)=px-PL/2,代入挠曲线微分方程得到：EIy’’=Px-PL/2,
2
积分一次得到转角方程为 EIy’=Px/2-PLx/2，令转角y’＝0，得到x=0、x=L/2。
5、已知图ａ中梁在中点的挠度为5qL/384EI,那么图ｂ中点的挠度为 。
4
答疑线性分布载荷的梁在中点处的挠度的等于同一梁上作用有大小为2q的均布载荷梁的中点处挠度的一半。固ｂ中点的挠度为f=5
44
×2q×L/384EI×1/2= 5qL/384EI。
6、如图所示的外伸梁，已知B截面的转角为θ＝FL/16EI，则C截面的挠度yC= 。
2
答案 θD=－Fa/2EI、fC=-5Pa/6EI
答疑 挠曲线的大致形状为：
答疑 整个梁在变形后的挠曲线形状为：
2
3
答案 yc =aθB =FLa/16EI
2
根据几何关系得到：tgθB=yc/BC yc=BC tgθB=a tgθB≈aθB= 2
FLa/16EI。
梁在BC段不受外力的作用，通过静力平衡分析得到B、C两处7、如图所示中两梁的横截面大小形状均相同，跨度为L，则两梁的的约束反力均为零， BC段的内力为零，固在BC段上梁不发生弯曲，内力图 ，两梁的最大正应力 ，两梁的变形 。只是绕B点转动一个角度θB，通过几何关系得到tgθB=fc/BC=fc/a,（填写“相同”或“不同”） 整理得到fc=a×tgθB ，在小变形的情况下有tgθB≈θB ，得到
3
fc=aθB=-5Pa/6EI。
由于C处的约束反力为零，所以CD段的弯矩为零，CD段也不产生弯曲，只是由于AD段的弯曲变形带动CD段产生沿AD段的D截面切线方向的位移。通过图示中红线所围成的三角形的几何关系有：tg
2
θD=(∣fc∣-∣fD∣)/a 在小变形的情况下有θD≈tgθD= Fa/2EI,方向为瞬时针方向。
答案两梁的内力图相同，最大正应力相同，两梁的变形不同。
答疑 简支梁两端的支反力的大小分别为P，且左端的支反力向下，固两梁的内力图相同；两梁的最大弯矩相等均为－PL，在横截面大小形状相同的条件下，最大正应力相等。虽然两梁的弯矩方程相同，挠曲线微分方程相同，但积分后的边界条件不同，，固得到两条形状不同的曲线，所以弯曲变形不同。
8、图示中梁的抗弯刚度为EI，C处为弹性支座，弹簧刚度为K。为求弹簧所受的力，则所取变形协调条件为： 。
答案 y1max/y2max=1:16
答疑 跨度为L承受均布载荷q的简支梁在中间截面处的挠度为
44
5ql/384EI。固左图中的简支梁在中间截面处的挠度为5ql/384EI,
4
右图中的梁的最大挠度为5q(2l)/384EI。固左右两梁的最大挠度之比为1:16
12、两根梁的尺寸、受力和支撑完全相同，但材料不同，弹性摸量分别为E1和E2，且E1＝7E2，则两梁的挠度之比为： 。 答案 最大挠度之比为 1：7
答疑 由两梁的受力和支撑相同可以确定两梁的弯矩方程M(x)相同，又由两梁的尺寸相同可以确定截面的惯性矩相等。根据挠曲线微分方程EIy’’=M(x)可知：E1y1’’= E2y2’’, 将E1＝7E2代入得到7y1’’= y2’’。由于两梁的支撑情况相同，积分后得到y1/y2=1:7 13、矩形截面梁由木、钢两种材料组成。木、钢的弹性摸量分别为E1＝10GPa，E2＝210GPa。求木材、钢材所受的弯矩之比为 。
答案 fc（Nc,P）=Nc/K
答疑 协调方程为：梁在C处的挠度等于弹簧的变形。 9、用积分法求梁的变形时，边界条件为： ，连续
条件为 。
答案 M1/M2=5/21
答疑 变形后两种材料有相同的曲率半径ρ，根据曲率与弯矩之间的关系1/ρ=M(x)/EI,有1/ρ=M1(x)/E1I1=M2(x)/E2I2，各截面的惯性 答案 以A为原点，向右为x轴正方向
33
矩为I1=10th/12、I2=2th/12,从而得到M1/10E1=M2/2E2,代入弹性模量
边界条件 x=0 y1=0, y1’=0； x=3a y2=0 后得到：M1/10×10=M2/2×210,整理得到21M1=5M2，所以 M1/M2=5/21 连续性条件
x=2a y1=y2
14、图示中的梁材料、截面相同，则两梁的最大挠度之比
为： 。
答疑 A处为固定端约束处，挠度为零，转角为零； D处为活动铰支，挠度为零；C处为中间铰，左右两侧的挠度相等，但转角不等。
10、梁上作用有外力偶，M1和M2，A点位于L/3处。使A点成为挠曲线的拐点，那么M1/M2= 。
答案 1：4
答疑 跨度为L的悬臂梁在自由端承受集中力P时的最大挠度为33
PL/3EI，固上图的最大挠度为2PL/3EI，下图中的悬臂梁的最大挠
33
度为P(2L)/3EI=8PL/3EI，固二者的最大挠度之比为1：4。 15、已知简支梁在力P作用下中点C处的挠度为δ，那么当梁上的载荷如右图时，梁的中点C处的挠度为： 。
答案 M1/M2=－1/2
答疑 设左端有向上的约束反力R，根据静力平衡得到R＝（M2-M1）/L。取梁的左端为原点，向右为x轴正方向，那么任意截面处的弯矩方程为：M(x)=Rx+M1=（M2-M1）x/L+M1。由数学知识得到要使得A点成为挠曲线的拐点，在点A处有y’’=0；根挠曲线微分方程y’’=M(x)/EI可得在点A处有M(x)＝0，整理得到M1/M2＝－1/2
11、两简支梁的材料、截面形状、梁承受的载荷集度相同，而两梁的则其最大挠度之比为y1max/y2max= 。
答案 δ、向上
答疑 在简支梁上作用有集中力P时梁的中间截面处的挠度为δ。将右图中的载荷分解，相当于在梁上作用有向下的集中力P和向上的集中力2P。又由于简支梁的左右对称性可以得到：在力P的单独作用下C截面的挠度为δ、方向向下；在2P的单独作用下C截面的挠度为2δ、方向向上；叠加后得到C截面的挠度为δ、方向向上。