7、悬臂梁的刚度为EI，一端固定，另一端自由。刚性圆柱面的半径为R，若使梁变形后与圆柱面完全吻合而无接触压力，应如何加载？。
答案 b的弯曲正应力大
答疑 根据曲率半径与弯矩之间的关系1/ρ=M(x)/EI，考虑到ρa>
ρb ,得到Ma(x)/EI 答疑 拉压的平面假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线； 扭转的平面假设：圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻两截面间的距离不变； 弯曲变形的平面假设：变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。 在拉压时的平面假设允许截面的大小发生变化，但横截面只是沿轴线方向有位移； 扭转时的平面假设，截面的大小、形状无变化，只是像刚性圆盘一样绕轴线产生相对转角； 弯曲变形的平面假设，横截面绕中性轴产生旋转，变形后的平面与变形前的平面有一夹角。 5、矩形截面梁的尺寸中，高h为宽度b的2倍，承受铅垂载荷的作用，如果将梁由竖放改为平放，其他条件不变，梁的强度将发生怎样的变化？ 答案 施加一个瞬时针的力偶，力偶矩的大小为EI/R。 答疑 根据曲率半径为弯矩之间的关系1/ρ＝M(x)/EI，此时梁的曲率半径ρ＝R，所以有M(x)=EI/R。梁的抗弯刚度EI为常量，刚性圆柱面的半径R为常量，所以悬臂梁的横截面的弯矩M为常量，大小为EI/R。 8、用铅笔写字，笔尖折断，是什么应力导致的结果？为什么？ 答案 是拉应力导致笔尖折断 答疑 写字时，笔尖受弯，且是脆性材料，在受拉的一侧应力达到极限应力时，笔尖发生脆性断裂。 9、矩形截面梁承受纯弯曲，分别在1－1、2－2截面处有铅垂和水平方向的直径为ｄ的穿透圆孔如图。分别画出1－1、2－2截面的正应力分布图，并写出此二截面的最大正应力的计算公式。 答案 1－1截面上的正应力分布规律如下图，其最大正应力ζ=M/Wz=Mh/2/(bh3/12-dh3/12)=6M/h2(b-d)。 答案 梁的强度减低 答疑 竖放时ζ=M/Wz=M/bh/6=6M/4b，横放时ζ 23 =M/Wz=M/hb/6=6M/2b；所以由竖放改为横放梁的强度降低，最大正应力是竖放时的2倍。 简述 弯曲正应力 6、有一直径为d的钢丝绕在直径为D的圆筒上，钢丝仍然处于弹性范围。为减少弯曲应力，有人认为要加大钢丝的直径，你说行吗？说明理由。 答案 此方案不行 答疑 根据曲率半径为弯矩之间的关系1/ρ＝M(x)/EI，此时钢丝的曲率半径ρ＝(D+d)/2，整理得到钢丝承受的弯矩为 M(x)=2EI/(D+d)；根据弯曲正应力的计算公式ζ=M/Wz，得到ζ =2EIz/(D+d)Wz=2E/(D+d)×(IZ/Wz)=2E/(D+d)×d/2=Ed/(D+d)，由此可见钢丝内的最大正应力与钢丝的直径有关，钢丝的直径增大，钢丝的横截面上的正应力也增大，固不能通过加大钢丝直径的办法来减少钢丝内的弯曲正应力。 答疑 1-1截面上的弯曲正应力线性分布，中性层处的正应力为零，正应力按上压下拉连续变化；绝对值最小的正应力的值为零，发生在中性层处；绝对值最大的正应力发生在h/2处。 2－2截面在中性层附近为空心，在d/2到h/2的范围内正应力线性分布。绝对值最小的正应力发生在d/2处，绝对值最大的正应力发生在h/2处。 10、 在推导梁的纯弯曲正应力的计算公式时，作过平面假设，问此 假设在推导过程中起到了什么作用？ 答疑 因为假设横截面保持为平面，才可以得出纵向纤维的线应变在横截面上成直线变化，从而可以建立应变与位移（转角）之间的几何关系。 2 3 2-2截面上的正应力分布规律如下图，其最大正应力ζ 3333 =M/Wz=Mh/2/(bh/12-bd/12)=6Mh/b(h-d)。 判断 弯曲剪应力 1、“横力弯曲梁某截面上的最大弯曲剪应力一定位于该截面的中性轴上。” 答案 此说法错误 答疑 宽度b没有突变的横截面上，最大剪应力总是出现在中性轴上各点处，如矩形截面、圆形截面、工字钢截面。但对于横截面宽度有变化、或横截面的宽度b在中性轴处显著增大的截面如十字型截面，或某些变宽度的截面如等腰三角形截面，最大剪应力不出现在中性轴上。 例如：图示中的横截面关于中性轴上下不对称，最大剪应力不发生在中性轴处，而是发生在图示中红线所示的位置处。 答案 正确选择：C 答疑 横力弯曲时，横截面上既有剪力又有弯矩，弯矩产生正应力，剪力产生剪应力。 填空 弯曲剪应力 1、矩形截面简支梁，不计梁的自重，A点处的最大剪应力＝ ，B点处的最大正应力＝ 。 答案 η=3F/8bh；ζ= 3Fa/bh 答疑 截面为矩形截面，A点处的最大剪应力为η=3Q/2A=3×F/4/2bh=3F/8bh；B点处的最大正应力ζ=M/Wz=Fa/2× 22 (6/bh)=3Fa/bh。 2 2、“梁在横力的作用下发生平面弯曲时，横截面上最大剪应力点的正应力不一定为零“ 答案 此说法正确 答疑 梁在发生平面弯曲时，最大剪应力不一定总是位于中性轴处，固最大剪应力的所在的点处正应力不一定为零。 例如：图示中的横截面关于中性轴上下不对称，但最大剪应力不发生在中性轴处，而是发生在图示中红线所示的位置处，此处的正应力不为零。 2、一矩形截面简支梁的跨度为L，当一载荷P从A运动到B时，梁上的最大弯曲正应力为 ，最大弯曲剪应力为 。 答案 ζ= 3PL/2bh；η=3P/2bh； 答疑 当载荷移到梁的中点时，梁承受最大正弯矩，大小为PL/4, 此时在中间截面的最上面与最下面分别产生最大正应力，大小为ζ 2 =M/Wz=PL/4Wz=3PL/2bh；当载荷移到离支座很近时，梁承受最大剪力的作用，剪力的大小为P，此时在危险截面的中性层处产生最大剪应力，大小为η=3Q/2A=3P/2bh。 3、简支梁承受集中载荷的作用，梁内A点处的剪应力等于 ，B点处的正应力等于 ，C点处的正应力等于 。 2 选择 弯曲剪应力 1、下列各梁的面积相等，其上的剪力也相等，则 截面上的最大剪应力最大。 A：矩形； B：正方形 C：圆型； D：薄壁圆环； 答案 正确选择：D 答疑 矩形截面梁的最大剪应力为3Q/2A；正方形截面梁的最大剪应力为3Q/2A；圆形截面梁的最大剪应力为4Q/3A；设薄壁圆环的平 3 均半径为R，则薄壁圆环截面的惯性矩为IZ=πRt，半截面对中性轴的面矩为S= * 答案 0、 0、 2Pa/bh 答疑 A、B、C三点所在的截面上的剪力为Q＝P/3,弯矩为M＝＋Pa/3。A点位于截面的最下层纤维处，所以A点处的剪应力为零；B点位于横力弯曲的中性层处，B点的弯曲正应力为零；C点的正应力为该截面上的最大正应力发生处，大小为ζ 22 =M/Wz=Pa/3/bh/6=2Pa/bh。 4、跨度较短的工字型截面梁，在横力弯曲的条件下，危险点可能发生在 处、 处和 处。 答案 上下翼缘的最外侧、腹板的中点、腹板和翼缘的交接处 答疑 跨度较小的工字型截面梁，在上下翼缘的外侧存在最大正应力，在腹板的中点存在最大剪应力，在腹板与翼缘的交接处同时存在较大的正应力和较大的剪应力。 5、工字型截面梁在横力弯曲的作用下，翼缘的主要功能是 ；腹板的主要功能是 。 答案 抗弯、 抗剪 2 ，固截面的最大剪应力 *23 为η＝Q S/bIz=2QRt/(2t×πRt)= Q/πRt=2Q/A。 2、横力弯曲时，横截面上 。 A：正应力不等于零，剪应力等于零； B：正应力等于零，剪应 力不等于零； C：正应力、剪应力均不等于零； D：正应力、剪应力均等 于零； 答疑 翼缘承担大部分的弯矩，腹板承担大部分的剪力； 简述 弯曲剪应力 1、横力弯曲时平面假设为何不成立？既然平面假设不成立，为何仍用纯弯的应力计算公式计算横力弯曲时的正应力？ 答疑 横力弯曲时横截面上不但有正应力还有剪应力，由于剪应力的存在，必然要引起剪应变，剪应力沿高度并非均匀分布，所以剪应变沿高度也不是均匀分布，靠近顶面和底面处的单元体无剪应变，随着离中性层距离的减小，剪应变逐渐增加，在中性层上达到最大值，剪应变沿高度的这种变化，引起在横力弯曲时横截面不再保持为平面，固平面假设不能成立。 但是当梁的横截面高度h远小于梁的跨度L时，用纯弯得到的正应力的计算公式来计算横力弯曲的正应力，不会引起太大的误差，能够满足工程问题所需要的精度。而h< 答疑 A－A截面上存在剪力和正弯矩，固在截面上存在弯曲剪应力和弯曲正应力。 正应力的分布规律是上压下拉且连续变化，如图所示。 剪应力的分布规律为：距离中性轴最远的最上端剪应力为零，在靠近上端的尺寸突变处剪应力突然增大，在下端的尺寸突变处，剪应力突然减小，在距离中性轴最远的最下端剪应力也为零。最大剪应力不发生在中性轴上而是发生在靠近中性轴的尺寸突变处。分布规律如图所示。 5、应用材料力学方法计算梁弯曲问题时，试说明引进了哪些假设（包括基本假设和针对梁弯曲的假设）。并说明引入这些假设的目的。 答疑基本假设：均匀、连续、各向同性，其主要目的是便于将高度数学的微积分工具用于研究构件的受力和变形，这也是对所有变形固体的基本假设。 在分析梁的弯曲正应力时，作了两个重要假设：一是针对纯弯曲梁的变形特征所作的平面假设，目的是便于得到简单的变形几何关系；二是纵向纤维间无正应力的假设，目的是便于利用单向应力状态的简单虎克定律。 在分析梁的弯曲剪应力时，主要是针对横截面的具体形状，对横截面上各点剪应力的大小和方向作合理的假设。如对矩形截面作了两个假设①横截面上各点剪应力的方向都平行于剪力；②剪应力沿截面宽度均匀分布。 选择 提高弯曲强度 答案 正应力的分布规律如图： 剪应力的分布规律如图： 1、等强度梁各个横截面上的 。 A：最大正应力相等 B：最大正应力相等且等于许用正应力； C：最大剪应力相等 D：最大剪应力相等且等于许用剪应力 答案 正确选择：B 答疑 梁承受正弯矩，在横截面上产生上压下拉的弯曲正应力， 答疑 等强度梁的设计原则是：变截面梁的各横截面上的最大中性轴偏上，固最大拉应力大于最大压应力；横截面上的剪力不为零，正应力都相等，且等于许用压力，此梁才能充分发挥作用。 在横截面上产生弯曲剪应力，在距离中性轴最远处剪应力为零，剪应力的最大值发生在中性轴处，但在截面尺寸突变处剪应力突变。 2、厂房中的“鱼腹梁”是根据简支梁上 而设计的等强 度梁。 3、欲用厚度为ａ的板材粘合成一个箱型截面梁，从剪切强度考虑采用那种截面形式较为合理？为什么？ A：受集中力、截面宽度不变 B：受均布力、截面宽度不变； C：受集中力、截面高度不变 D：受均布力、截面高度不变； 答案 正确选择：A 答案 采用b的形式较为合理。 答疑 图a中，粘合面处的剪应力完全由粘合物质承担，容易发生剪切破坏；图b中粘合处有完整的立板，剪应力大部分由立板承担，不易发生剪切破坏。固b的承载能力比a图的大 4、说明A－A截面上的应力种类，并画出应力的分布规律。 答疑 “鱼腹梁”在工程中简化为受集中载荷作用的简支梁，在设计时保持梁的横截面宽度不变，高度随截面的位置变化。 3、铸铁悬臂梁在自由端受集中力F的作用，其合理的截面形状为： 答案 T型截面合理 答疑 悬臂梁承受最大负弯矩，产生上拉下压的弯曲正应力。悬臂梁的材料为铸铁，抗压不抗拉，所以应选择中性轴偏上的不对称截面形式――T型截面较合理。 4、在横截面的面积不变的条件下，采用 截面才合理。 碳钢属于塑性材料，抗拉压强度相等，宜采用对称截面，选择矩形或工字型截面，但工字型截面相对于矩形截面有较大的惯性矩，所以碳钢材料时，选择工字型截面较好。 铸铁材料是脆性材料，抗拉压强度不等，宜采用不对称截面，选择T型或倒T型截面；此梁承受最大正弯矩，产生上压下拉的正应力，考虑到铸铁抗压不抗拉，中性轴应靠近受拉一侧，固选择倒T型截面较合理。 3、材料E以及横截面面积A均相同，哪一个截面承担的最大弯矩M最大？ 答案 正方形C 答疑为了提高弯曲强度，在横截面面积不变的条件下，应选择惯性矩较大的截面形式。正方形截面比圆形截面有较大的惯性矩，但斜放的正方形截面虽然惯性矩的大小不变，但危险点离开中性轴的距离偏大，抗弯截面系数较小，所以应选择正方形C的截面形式。 填空 提高弯曲强度 1、重物P可在梁上自由移动：①若横梁为T字形铸铁截面梁，截面应按 方式放置？ 答案 工字型截面承担的弯矩最大 答疑 在横截面面积相同的情况下，应使截面的大部分分布在远离中性轴的区域，此时截面有较大的惯性矩，承载能力也最大。工字型截面有较大的惯性矩。 答案 正T型截面 答疑 梁承受有最大正弯矩Pa和最大负弯矩－2Pa；在最大负弯矩处产生上拉下压的正应力，材料抗压不抗拉，固横截面的中性轴应偏上，选择正T型截面。 答疑 倒T型放置 2、铸铁梁受弯时，梁的横截面中性轴一般应设计成不对称的，其形心位置应偏向 一侧更为合理。 答案 受拉 答疑 铸铁材料抗压不抗拉，应该使梁的受拉一侧离中性轴近一些，这样梁的最大拉应力会降低，从而提高梁的强度。 简述 提高弯曲强度 1、T型铸铁梁，承受正弯矩的条件下，下列哪一种放置中，强度最高？ 在梁承受正弯矩的情况下，产生上压下拉的正应力。铸铁材料抗压不抗拉，所以应使梁的中性轴偏下比较合理，固应采用倒T截面形式。应力分布规律为： 4、T型截面铸铁梁，受主动力偶M作用，从强度的角度考虑，应如何放置？阐述原因并画出横截面上的应力分布规律。 5、简述：应从哪些方面考虑提高梁的承载力？ 答疑 降低梁的最大弯矩，采用合理截面，采用等强度梁。 简述 提高梁的弯曲强度 6、简支梁的材料为铸铁，梁的总长度为L。承受的外力偶为M，方向如图。外力偶矩的作用面到左端固定铰的距离为2L/5。欲采用下面的四种截面形式，y1/y2=2，为此梁选择最佳的截面形式为 。阐述原因。 答案 a放置方式时弯曲强度最高 答疑 铸铁梁应该采用非对称截面，T型或倒T型，考虑到承受正弯矩，产生上压下拉的正应力，铸铁材料抗压不抗拉，应使中性轴偏下，固选择倒T截面合理。 2、简支梁材料为普通碳钢，承受均布载荷，采用哪种截面形式最合理？如果材料为铸铁，哪种截面合理？为什么？ 答疑 采用倒T截面 铸铁梁应该选择不对称截面。此梁承受有最大正弯矩和最大负弯矩，最大正弯矩的值为3M/5，最大负弯矩的值为－2M/5。最大正弯矩产生上压下拉的正应力，铸铁材料抗压不抗拉，固中性轴应该偏下，选择倒T截面。 倒T型放置时最大正弯矩截面的最大拉应力为ζ=3My2/5Iz；在最大负弯矩处产生的最大拉应力为ζ=2M y1/5Iz=4My2/5Iz。如果选择T型截面，在最大正弯矩处的最大拉应力为ζ=3M y1/5Iz=6My2/5Iz；在最大负弯矩处的最大拉应力为ζ=2My2/5Iz。 答案 如果材料为普通碳钢应采用工字型截面、如果材料为铸铁应采用倒T型截面 7、板与4块不等边角钢组成复合型截面梁，请画出合理截面的组合形式。 答案 截面的组合形式如下 11、古罗马建寺院，运输石柱时用两个滚子支撑，用牛拉它前进，经验表面石柱会在图示位置破坏，解释原因。并请提出你的建议。 答疑 应使梁的横截面的大部分分布在远离中性轴的区域，以提高截面的惯性矩，从而提高梁的承载力。 8、铸铁梁从强度的角度考虑放置是否合理？ 答疑 石柱仅受自重的作用，石柱的受力可看成均布在和的作用，根据石柱的受力和支撑情况画出石柱的弯矩图如图所示： 答案 1图合理；2图不合理。 答疑 图1中的梁承受最大负弯矩，产生上拉下压的正应力；梁的材料为铸铁，抗压不抗拉，应使横截面的中性轴靠近受拉的一侧，固中性轴应偏上，而图1中的截面形式中性轴是偏上的，固图1中的放置形式合理。 图2中的铸铁梁承受最大正弯矩，产生上压下拉的正应力，中性轴应偏下，但图示中的放置形式的中性轴偏上，固此放置形式不合理。 9、一T型截面铸铁梁，在下列条件下T字型是正放还是倒放？并指出危险点的可能位置。①:全梁的弯矩M>0；②全梁的弯矩M<0； 答案 ①:全梁的弯矩M>0时，应该选择倒放；危险点的可能位置发生在最大正弯矩处离中性轴最远的最上端和最下端。； ②全梁的弯矩M<0时，应该选择正放；危险点的可能位置发生在最大负弯矩处离中性轴最远的最上端和最下端。 答疑 全梁的弯矩M>0时，说明梁承受最大正弯矩，产生上压下拉的正应力，材料本身抗压不抗拉，中性轴应偏下，选择倒T型截面； 全梁的弯矩M<0时，梁承受最大负弯矩，产生上拉下压的正应力，中性轴应偏上，选择正T型截面形式。 10、在建筑工地上有时会看到将要安装的屋架梁制造成如图所示的形状，即靠近中间的在腹板上有许多圆孔，且工字截面的中间高、两边低。从材料力学的角度看是否合理？为什么？ 从弯矩图可以看出，在支撑点承受的弯矩最大，且该截面上方受拉，石柱为脆性材料，抗拉能力较差，因此在支撑的上方将被拉断，使其开裂。 要使石柱的受力合理，将减少危险面上的弯矩，较好的办法是使石柱承受的最大正弯矩和最大负弯矩的绝对值相等。固将滚子移到距离端部为a的位置，由受力分析得到最大负弯矩发生在支撑处，最大正弯矩发生在中间截面处，其值分别为： Mmax=-qa/2； Mmax=qL(L/2-a)/2-q(L/2)/2。令|Mmax|=|- Mmax|有22qa/2＝qL(L/2-a)/2-q(L/2)/2，求解得到a=0.207L，即将滚子支撑在距离端面a=0.207L处时，石柱受到的弯矩最小。 第六章 弯曲变形 1、 挠曲线上任意一点的曲率与弯矩之间的关系：1/ρ=M(x)/EI以及适用条件； 2、 弯曲变形的位移； 3、 挠曲线近似微分方程； 4、 积分法求梁的变形； 5、 各种梁的边界条件和连续性条件； 6、 叠加法求梁的变形； 7、 梁的刚度条件； 1、积分法求梁的变形中积分常数的确定； 2、叠加法求梁的变形时要注意考虑其他段上的载荷、变形对本段的影响； -2+2-+ 重点 难点 1、 梁的变形的度量——挠度和转角的概念； 2、 梁的挠曲线近似微分方程； 3、 挠曲线近似微分方程的适用范围； 4、 积分法求梁的变形； 5、 叠加法求梁的基本知识点 挠度和转角； 6、 确定挠曲线的大致形状； 7、 运用刚度条件进行梁的刚度计算； 8、提高梁弯曲刚度的措施； 判断 弯曲变形 1、“平面弯曲梁的挠曲线必定是一条与外力作用面重合或平行的平面曲线” 答案 此说法正确 答疑 平面弯曲时梁的挠曲线是纵向对称面内的一条平面曲线。 2、“由于挠曲线的曲率与弯矩成正比，因此横截面的挠度与转角也与横截面的弯矩成正比” 答案 合理 答疑 屋架梁产生弯曲变形，中性层发生在截面的中间处，此处的弯曲正应力的值偏小，固在靠近中间的部分挖去许多孔，既满足了屋架的弯曲强度又节约材料、降低了屋架的自重。 屋架的受力，一部分是本身的自重，另一部分是与轴线垂直的外载，使得屋架承受的弯矩中间截面大，两端的弯矩值偏小，为了提高屋架 答案 此说法错误 的抗弯曲强度，节约材料，减轻自重，应该采用横截面随弯矩的变化 转角与弯矩之间而变化的变截面梁，在弯矩较大的中间截面处采用的工字型的高度较 答疑 根据挠曲线微分方程y’’=M(x)/EI可知，的关系为θ＝∫M(x)/EIdx，挠度与弯矩之间的关系为 v＝∫[∫大；在弯矩较小的两边，采用的工字型截面的高度较小。 M(x)/EIdx]dx，不是正比的关系。