这表明平行轴中没有一条是过质心的，则平行轴定理是不适应的
3.6如果两条平行线中没有一条是通过质心的，那么平行轴定理式（3.5.12）能否应用？如不能，可否加以修改后再用？
答：不能，如3-5题。但平行轴定理修改后可用于不过质心的二平行轴。如题3-6图所示，
均质棒上二点到质心的距离分别为和由平行轴定理得：
则，此式即可用于不过质心的二平行轴。如上题用此式即可求得：
3.7在平面平行运动中，基点既然可以任意选择，你觉得选择那些特殊点作为基点比较好？好处在哪里？又在（3.7.1）及（3.7.4）两式中，哪些量与基点有关？哪些量与基点无关？ 答 任一瞬时，作平面平行运动的刚体上或与刚体固连且与刚体一起运动的延拓平面总有也仅有一点的瞬时速度为零（转动瞬心）从运动学观点看由（3.7.1）式
知选此点的基点较好，这样选基点，整个刚体仅绕此点作瞬时转动从（3.7.4）式
可知，求加速度时选加速度为零的点为基点较方便，但实际问题中，加速度瞬心往往不如速度瞬心好找。
从动力学角度考虑，选质心为基点较好，因质心的运动可由质心运动定理解决；而且质点系相对质心的动量矩定理于对固定点的动量矩定理具有相同的形式，亦即刚体绕过质心与
平面垂直的轴的转动可用刚体绕定轴转动的定律去解决。
因刚体上不同点有不同的速度和加速度，基点选取的不同，则（3.7.1）和（3.7.4）式中不同，即
和
与基点有关；又任一点相对基点的位矢
，相对基点的切线加速度
于基点的选取有关。故
任一点绕基点转动速度和相对基点的向心加速度
与基点选取有关；角速度为刚体各点所共有与基点选取无关，故也与基点选
取无关；基点选取的不同是人为的方法，它不影响刚体上任一点的运动，故任一点的速度
与基点的选取无关。这也正是基点选取任意性的实质所在。 3.8转动瞬心在无穷远处，意味着什么？
答 转动瞬心在无穷远处，标志着此瞬时刚体上各点的速度彼此平行且大小相等，意味着刚体在此瞬时的角速度等于零，刚体作瞬时平动
3.9刚体做平面平行运动时，能否对转动瞬心应用动量矩定理写出它的动力学方程？为什么？
答 转动瞬心的瞬时速度为零，瞬时加速度并不为零，否则为瞬时平动瞬心参考系是非惯性系，应用动量矩定理是必须计入惯性力系对瞬心的力矩。而惯性力系向瞬心简化的结果，惯性力系的主矩一般不为零（向质心简化的结果惯性力系的主矩为零），故相对瞬心与相对定点或者质心的动量矩定理有不同的形式；另外，转动瞬心在空间中及刚体上的位置都在不停的改变，（质心在刚体上的位置是固定的），
故对瞬心的写出的动量矩定理在不同时刻是对刚体上不同点的动力学方程，即瞬心参考系具有不定性；再者，瞬心的运动没有像质心一点定理那样的原理可直接应用。故解决实际问题一般不对瞬心应用动量矩定理写其动力学方程。
3.10当圆柱体以匀加速度自斜面滚下时，为什么用机械能守恒定律不能求出圆柱体和斜面之间的反作用力？此时摩擦阻力所做的功为什么不列入？是不是我们必须假定没有摩擦力？没有摩擦力，圆柱体能不能滚？
答 因圆柱体沿斜面滚下时，圆柱体与斜面之间的反作用力不做功，只有重力作功，故机械能守恒且守恒定律中不含反作用，故不能求出此力。此过程中由于圆柱体只滚动不滑动，摩擦力做功为零，故不列入摩擦力的功，也正是摩擦力不做功才保证了机械能守恒；若圆柱体即滚且滑的向下运动，摩擦力做功不为零免责必须列入摩擦力的功。机械能不守恒，必须用动能定理求解。在纯滚动过程中不列入摩擦力的功并不是没有摩擦力，事实上，正是摩擦力与重力沿下滑方向的分离组成力偶使圆柱体转动且摩擦阻力阻止了柱体与斜面的相对滑动，才使圆柱体沿斜面滚动而不滑动；如果斜面不能提供足够的摩擦力，则圆柱体会连滚带滑的向下运动；如果斜面绝对光滑，即斜面对圆柱体不提供摩擦力，则圆柱体在重力作用下沿斜面只滑动不滚动。
3.11圆柱体沿斜面无滑动滚下时，它的线加速度与圆柱体的转动惯量有关，这是为什么？但圆柱体沿斜面既滚且滑向下运动时，它的线加速度则与转动惯量无关？这又是为什么？ 答 刚体作定点转动或定轴转动时，
体内任一点的线速度才可写为，这时是任一点到左边一点引出的矢径不等于该点到
转轴的垂直距离对定点运动刚体圆点一般取在定点位置，对定轴转动刚体，坐标原点可取在定轴上任一点；包含原点且与转轴垂直的平面内的各点，才等于到转轴的垂直距离。当刚体作平面平行运动或任意运动时，人一点相对与基点的速度也可写为点向基点引的矢径。
3.12刚体做怎样的运动时，刚体内任一点的线速度才可以写为质点到转动轴的垂直距离？为什么？ 答 刚体绕定点转动时，转轴，转动加速度。
表示由于
的大小、方向时刻改变，任意时刻
所在的方位即为瞬时？这时r是不是等于该
，其中
为该
大小和方向的改变引起的刚体上某但绕瞬时轴的转动速度，故称
是由于刚体上某点绕瞬时轴转动引起速度方向改变产生的
加速度，它恒垂直指向瞬时转轴，此方向轨迹的曲率中心或定点，故称向轴加速度而不称向心加速度。
3.13刚体绕固定点转动时，
为什么叫转动加速度而不叫切向加速度？又
为什么叫向轴加速度而不叫向心加速度？
答 在对定点应用动量矩定理推导欧勒动力学方程时，既考虑了刚体绕定点随固连于刚体的坐标系绕定点转动引起的动量矩改变体的坐标轴的运动引起动量矩的改变
，又考虑了
转动的定量矩相对固连于刚
也就是说，既考虑了随刚体运动的牵
连运动，又考虑了相对于刚体的相对运动，是以固定参考系观测矢量对时间微商的，故用这种坐标系并不影响对刚体运动的研究。
3.14在欧勒动力学方程中，既然坐标轴是固定在刚体上，随着刚体一起转动，为什么我们还可以用这种坐标系来研究刚体的运动？ 答 欧勒动力学方程的第二项是由于动量矩矢量
随刚体以角速度
转动产生的
它们具有定性力矩的物理意义，各项的负值表示了惯性力系对定点的主矩在各动轴上的分量 三、计算题
3.1为了测定一半径为0.5m的飞轮的转动惯量，在飞轮上绕以软绳，挂一质量为10kg的重物。测得重物从静止下落2m的时间为16s。如果轴承中的摩擦力可以略去不计，则飞轮的转动惯量为多大？
解：重物从静止下落 由h?122h2?2at,得a?2??0.015625m/s 2t162又 ma?mg?FT 则FT?mg?ma?10(9.8?0.015625)?100N
J??rFT,r??a由刚体转动方程
r2FT0.52?100J???1600N?ma0.015625
3???在直角坐标系中，三轴的单位矢为i,j,k。物体的惯量张量为I?N0020?1。设一转轴通10?1?3?6???过上述直角坐标系原点，方向为??3j?3k?，那么物体对于该轴的转动惯量是多少？
??????3?6?j?k 于是物体对于该轴的转动惯量为 解：由于n??i??j??k?0?33????300?0??36?3?2??N02?1?? I???0,,?33??3??32?2N??0?11?6????3?2. 匀质圆盘，半径为a，放在粗糙水平桌上，绕通过其中心的竖直轴转动，开始时的角速度为?0 。
??已知圆盘与桌面的摩擦系数为?，问经过多长时间后盘将静止？
?t；当末角速度为零时，?为常数时，则有???0??解：当角速度?。则有t????0，并非t为负值）（注意，?。作用于圆盘的反力矩的大小为
?0????1? ??L??r???dm?g??r????rd??dr?g
由题意，圆盘的面密度为??m ，代入上式2?aaa22?m?2??m?2L??g?2??d??rdr??g?2??2????gam????2?
0033?a?a??????1?定轴转动的动力学方程为I??L????3? 已知圆盘的转动惯量为I?ma2????4?
2将（2）（4）代入（3）得?代（5）入（1）得t?24?g?1?????ma2?????gam 于是得?????5?
233a??3?0a 4?g3. 一块正方形薄板的边长为l,质量为m，求在其中心的惯量张量，已知z轴垂直于板面，x与y轴平行于两边。
解：由于薄板的坐标z?0，所以惯量积Iyz?Izx?0，又由于薄板相对于平面oxz,oyz对称，所以惯量积Ixy?0
薄板相对于x轴的转动惯量为
?y?1Ixx????y2?z2?dm????y2dxdy???y2dy?dx?l????ml2
?3??l122l2l?2l2l?23l2