因x轴与y轴均为对称轴，所以Iyy?由垂直轴定理知Izz?Ixx?Iyy?1ml2 1212ml 6?100???1ml2
于是正方形薄板相对于中心的惯量张量为I?010??12??002??4.一端系于天花板顶上的绳子，在另一端系一半径为r，重量为p的滑轮，求滑轮中心向下运动的加速度和滑轮转动时的角加速度。 解：建坐标如图示 o 滑轮受力：重力p，绳子张力T
P??c?P?T????1?xg建动力学方程式：
1P2???Tr????2?r?2g??????x?c?????3? ?c 即r?x又由约束条件：r?1P32?c?g x解（1）（2）（3）式得?32g????3rT?5. 如图示，均质轮Ⅰ质量为m1，半径为r1 ，在O1O2的带动下沿半径为r2的固定轮Ⅱ作纯滚动。杆O1O2为均质，质量为m，长为l（l?r1?r2），整个系统处于水平面内，O1、O2处的摩擦不计，滚动摩阻不计，求：在杆O1O2上施加力矩M，由静止开始，当O1O2杆转过?角时杆的角速度和角加速度。
解：取杆O1O2及轮Ⅰ为研究对象。初动能T1?0
O1O2杆转过?角时，设杆的角速度为?，轮Ⅰ的角速度为?1
则系统的动能为
T2?11111122222IO1O2?2?m1vO1?IO1?1?ml2?2?m1vO1?(m1r1)?1 222622又vO1??l??1r1,?1??lr1 所以T2?1?m3m12?22????l 2?32?作用于系统上的外力的功为W?M? 由动能定理T2?T1?W得
1?m3m1?22????l?M? 2?32???12M?
(2m?9m1)l2112M12?1?6M?????将?、?对t求导数得?? 22?2m?9m1?l(2m?9m1)l26.图示半径为r、绕水平轴转动的圆轮O，轮缘上绕一不可伸长的绳子。绳下端系一物体A，从静止开始以等加速度a0下落。求轮缘各点全加速度a与重物下降高度h的关系。
解：圆轮作定轴转动，重物A作直线平动。任一瞬时，轮缘上各点的速度大小与重物下落速度相同；轮缘上各点的切线加速度大小等于重物的重力加速度。 依题意 a??dvvdv??a0?C dtdy积分 而an??v0vdv??a0dy 则v2?2a0h
0hv2??2a0h ra??an22全加速度大小：a??2ah??2h??a0??0??a01???
?r??r?22r????ar 方向：tan?a,an?? ?a2h??n8. 图示半径为R的均质圆柱A缠以细绳，绳的B端固定，圆柱自静止下落，其轴心速
度为vA?2。求圆柱A的运动方程。 3gh（h为轴心至初始位置的距离）
3
解：设圆柱质量为m，绳的张力为T。
?A?mg?Tm?x?A?0由图可知圆柱作平面运动，其运动方程为m? y???TRI?A由于IA?1??23gh,又t=0时，x?0,y?0,??0代入上?A?R?mR2，xAA23??式得?2gg21t,??t,yA?0,xA?gt2 3R3R39. 均质圆柱体A的质量为m，在外圆上绕以细绳，绳的一端B固定不动，
如图所示。当BC铅垂时圆柱下降，其初速为零。求当圆柱体的质心A降落了高度h时质心A的速度和绳子的张力。
解：
先求质心A的速度，设当圆柱体的质心A降落了高度h时质心A的速度为vA。
根据机械能守恒，以初始位置的重力势能为零，有
32mvA?hmg?0 （1） 4解得 vA?
23hg 3下面求绳子的张力。为此先求质心A的加速度，
将式（1）对时间求导，并注意到关系
dvdh?vA , A?aA， 得 dtdtdv3dh3dvmvAA?mg?0 ? A?g?0 2dtdt2dt解得 aA?2g 3取圆柱为研究对象，受力分析见右下图，在铅垂方向用质心运动定理
maA?mg?FT
10. 图示两物体重为P和Q（P＜Q），用长为l，跨过半径为r为滑轮的绳连接，开始时两物体的高度差为h，不计轮与绳的质量。求静止释放后，两物体达到相同高度时所需的时间。
?1FT?mg?maA?mg
3
解：两物体的运动方程为
QP??Q?Q?T,a??P?T?P agg??Q?a??P,hQ?又a整理得：t?11??Qt2,hP?a??Pt2,hQ?hP?h a22hP?Q ?gQ?P?图示折杆OAB，已知OA?AB?l，?OAB?120，O与固定铰连接，?、
?大小已知，转向如图所示。试求AB中点C的速度和加速度。
解：
1°研究点C。OAB作定轴转动，可由定轴转动刚体的运动确定其上点C的速度和加速度。
2°速度分析 其中
222? OC?OA?AC?2?OA?AC?cos120
vc?oc??
ll7
?l2?()2?2?l?sin30??l2
224 OC?
7l2
3l?2
所以 方向如图所示
vC?3° 加速度分析
ac?oc????7l?2
a?oc??nc2?72l?2
方向如图示。
11.图示系统中，曲柄OA以匀角速度?绕O轴转动，通过滑块A带动半圆形滑道BC作铅垂平动。已知：OA = r = 10 cm，
? = 1 rad/s，R = 20 cm。试求? = 60°时杆BC的加速度。