?H?dl??I?d?Dldt ④
试判断下列结论是包含于或等效于哪一个麦克斯韦方程式的，将你确定的方程式用代号填在相应
结论后的空白处。
(1) 变化的磁场一定伴随有电场：________②_____________； (2) 磁感应线是无头无尾的： ___________③_____________； (3) 电荷总伴随有电场： ____________ ①__ _______。
三 计算题
1. 一同轴电缆由二导体组成，内层是半径为 R1 的圆柱，外层是内、外半径分别为R2、 R3的圆筒，二导体的电流等值反向，且均匀分布在横截面上，圆柱和圆筒的磁导率为?1，其间充满不导电的磁导率为?2的均匀介质，如图所示。求下列各区域中磁感应强度的分布： (1)r＜R1 (2)R1＜r＜R2 (3)R2＜r＜R3 (4)r＞R3 解：根据磁场的对称性，在各区域内作同轴圆形回路，应用安培环路定理，可得此载流系统的磁场分布： (1)r＜R1
LB??dl??B?2?r??I?r2 ?1?R2 1 B??1Ir2?R2
1(2)R1＜r＜R2
?LB??dl??B?2?r??2I
B??2I2?r (3)R2＜r＜R3
?LB??dl??B?2?r??I?(r2?R22)1[I??(R2R2] 3?2)?2 B?1I(R23?r)2?(R22 3?R2)r(4)r＞R3
?LB??dl??B?2?r??0(I?I)
Ｂ＝０
- 16 -
第十章 机械振动
学号 姓名 专业、班级 课程班序号
一 选择题
[ B ]1. 一物体作简谐振动，振动方程为x?Acos(?t??/4)，在t?14T (T为周期)时刻，物体的加速度为 (A) ?12A?2 1122A?2 (C) ?13A?22223A?2
[ B ]2. 已知一质点沿y轴作简谐振动，其振动方程为y?Acos(?t?3?/4)。与其对应的振动曲线是:
yyyAAyoAAottoto?A?At(A)?A(B)(C)?A
(D)
[ B ] 3. 一质点在x轴上作简谐振动，振幅A = 4cm，周期T = 2s, 其平衡位置取作坐标原点。若t = 0时刻质点第一次通过x = -2cm处，且向x轴负方向运动，则质点第二次通过x = -2cm处的时刻为：
(A) 1s (B) 23s (C) 43s (D) 2s
[ C ] 4. 一质点作简谐振动, 其运动速度与时间的关系曲线如图所示。若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初相应为： vv(m?s?1)(A) ? (B) 5? (C) ?5? 1m666
2vmo(D) ??t?s?6 (E) ?2?3
[ C ] 5. 如图所示，一质量为m的滑块，两边分别与劲度系数为k1和k2的轻弹簧联接，两弹簧的另外两端分别固定在墙上。滑块m可在光滑的水平面上滑动，O点为系统平衡位置。现将滑块m向左移动x0，自静止释放，并从释放时开始计时。
取坐标如图所示，则其振动方程为： k1mk2x0Ox
(A)x?xcos??k1?k20t??m??
(B)x?x?k1k2?0cos?(k)t???(C)x?x?k?k2??m?0cos?11?k2 ?mt???? (D)x?x?k?k2?0cos?1?mt????(E)x?x?k?k20cos
?1?mt???
[ E ] 6. 一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的1/4时，其动能为振动总能量的： (A)
716 (B) 916 (C) 1116 (D) 1316 (E) 1516
[ B ] 7. 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线，若 x这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为：
A/2xo2(A) 1t2? (B)?
?Ax1 (C) 32? (D) 0
二 填空题
1. 一竖直悬挂的弹簧振子，自然平衡时弹簧的伸长量为xx00，此振子自由振动的周期T=2?g。
2. 一水平弹簧简谐振子的振动曲线如图所示，振子处在位移零、速度为
x??A、加速度为零和弹性力为零的状态，对应于曲线上的 b,f 点。
Aae振子处在位移的绝对值为A、速度为零、加速度为-?2A和弹性力-kA的0bdft状态，对应于曲线的 a,e 点。 ?Ac
两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20.cm,与第一个简谐振动的相位差为
???1=π/6，若第一个简谐振动的振幅为103cm，则第二个简谐振动的振幅为____10___cm，第
一、二个简谐振动的相位差?1??2为??2。 试在下图中画出谐振子的动能，振动势能和机械能随时间t而变的三条曲线(设t=0时物体经过平衡位置)。
- 17 -
E 势能 动能 机械能
o T/2 T t
5. 一简谐振动的表达式为x?Acos(3t??)，已知t?0时的初位移为0.04m, 初速度为0.09m?s-1，则振幅A = 0.05m ，初相位? = -36.9? 。
6. 两个弹簧振子的的周期都是0.4s, 设开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动，经过0.5s后，第二个振子才从正方向的端点开始运动，则这两振动的相位差为?。
7. 一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动（设平衡位置处势能为零），当这物块的位移等于振幅的一半时，其动能是总能量的 3/4 。当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长?l,这一振动系统的周期为2??l/g。
8. 两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为：
x6?10?2cos(5t?11?2?) (SI) 和x22?2?10?sin(??5t) (SI)，它们的合振动的振幅为
4?10?2(m)，初相位为12?。
三 计算题
1. 一质量m = 0.25 kg的物体，在弹簧的力作用下沿x轴运动，平衡位置在原点. 弹簧的劲度系数k = 25 N·m-1。 (1) 求振动的周期T和角频率。 (2) 如果振幅A =15 cm，t = 0时物体位于x = 7.5 cm处，且物体沿x轴反向运动，求初速v0及初相。 (3) 写出振动的数值表达式。
解：(1) ??k/m?10s?1
T?2?/??0.63 s
(2) A = 15 cm，在 t = 0时，x0 = 7.5 cm，v 0 < 0
由 A?x220?(v0/?)
得 v2x20???A?0??1.3 m/s ??tg?1(?v)?10/?x03? 或 4?/3 ∵ x0 > 0 ， ∴ ??13? (3) x?15?10?2cos(10t?13?) (SI)
v???A2?x200??100.152?0.0752??1.30(m?s?1)
振动方程为x?Acos(?t??)?15?10?2cos(10t??3) （SI）
2. 在一平板上放一质量为m =2 kg的物体，平板在竖直方向作简谐振动，其振动周期为T =
12s，振幅A = 4 cm，求 (1) 物体对平板的压力的表达式。(2) 平板以多大的振幅振动时，物体才能离开平板。
解：选平板位于正最大位移处时开始计时，平板的振动方程为 x?Acos4πt (SI)
?x???16π2Acos4πt (SI) N (1) 对物体有 mg?N?m?x? ① N?mg?mx???mg?16π2Acos4πt (SI) ② ?x?物对板的压力为 F??N??mg?16π2Acos4πt (SI)
mg ??19.6?1.28π2
cos4πt ③
(2) 物体脱离平板时必须N = 0，由②式得 mg?16π2Acos4πt?0 (SI)
cos4?t??q
16?2A 若能脱离必须 cos4πt?1 (SI)
即 A?g/(16π2)?6.21?10?2 m
3. 一定滑轮的半径为R，转动惯量为J，其上挂一轻绳，绳的一端系一质量为m的物体，另一端与
一固定的轻弹簧相连，如图所示。设弹簧的倔强系数为k, 绳与滑轮间无滑动，且忽略摩擦力及空气的阻力。现将物体m从平衡位置拉下一微小距离后放手，证明物体作简谐振动，并求出其角频率。解：取如图x坐标，原点为平衡位置，向下为正方向。
m在平衡位置，弹簧伸长x0, 则有 JRmg?kx0……………………(1) 现将 m 从平衡位置向下拉一微小距离
x，
m x0 m和滑轮M受力如图所示。
ko 由牛顿定律和转动定律列方程， x mg?TN 1?ma………………… (2)
T1 T1R?T2R?J?……………… (3) a?R? ……………………… (4) T2?k(x?x0)…………… ……(5)
T2 T1 mg
联立以上各式，可以解出 a??kJx???2x，
（※） Mg
R2?m（※）是谐振动方程，
- 18 -
第十一章 机械波（一）
波函数 波的能量
学号 姓名 专业、班级 课程班序号
一 选择题
[ C ]1.在下面几种说法中，正确的说法是：
波源不动时，波源的振动周期与波动的周期在数值上是不同的 波源振动的速度与波速相同
在波传播方向上的任一质点振动相位总是比波源的相位滞后 在波传播方向上的任一质点的振动相位总是比波源的相位超前
[ A ]2. 一横波沿绳子传播时的波动方程为y?0.05cos(4?x?10?t) (SI)，则 (A) 其波长为0.5 m (B) 波速为5 m?s-1 (C) 波速为25 m?s-1 (D)频率为2 Hz
[ B ]3.一平面简谐波沿Ox正方向传播，波动方程为
y?0.10cos[2?(tx?2?4)?2]
该波在t=0.5s时刻的波形图是
[ C ]4. 一平面简谐波的波动方程为y?0.1cos(3?t??x??) (SI)，t = 0时的波形曲线如图所示。则
Y(m)u(A) O点的振幅为?0.1 m； 0.1(B) 波长为3 m；
(C) a 、b两点位相差 ?/2； 0ab(D) 波速为9 m?s-1
?0.1X(m)
[ D ]5. 一简谐波沿x轴负方向传播，圆频率为?，波速为u。设t = T /4时刻的波形如图所示，则该波的表达式为：
(A) y?Acos?(t?x/u) yu(B) y?Acos[?(t?x/u)??/2] (C) y?Acos?(t?x/u) 01234(D) y?Acos[?(t?x/u)??]
x
[ D ]6. 一平面简谐波沿x 轴正向传播，t = T/4时的波形曲线如图所示。若振动以余弦函数表示，且此题各点振动的初相取??到?之间的值，则 (A) 0点的初位相为 ?0?0 (B) 1点的初位相为 ??1??2
yu(C) 2点的初位相为 ?2??
(D) 3点的初位相为 ??012343??x2
［ D ］一平面简谐波在弹性媒质中传播，在媒质质元从平衡位置运动到最大位移处的过 程中：
它的动能转换成势能。 它的势能转换成动能。
它从相邻的一段质元获得能量其能量逐渐增大。
它把自己的能量传给相邻的一段质元，其能量逐渐减小。
二 填空题
1.频率为100Hz的波，其波速为250m/s，在同一条波线上，相距为0.5m的两点的相位差为2?5.
如图所示，一平面简谐波沿Ox轴负方向传播，波长为λ，若P处质点的振动方程是yp=Acos(2πνt+12π)，则该波的波动方程是y?Acos2[?(t?x?l??)?2,P处质点
t1?L?v?kv,k?0,?1,?2,?,或t?L1?v时刻的振动状态与O处质点 t1刻的振动状态相同。
3. 已知一平面简谐波沿x轴正向传播，振动周期T = 0.5 s，波长? = 10m , 振幅A = 0.1m。当t = 0时波源振动的位移恰好为正的最大值。若波源处为原点，则沿波传播方向距离波源为?/2处的振动
- 19 -
方程为y?0.1cos(4?t??)(SI)。当 t = T / 2时，x??/4处质点的振动速度为 ?1.26m?s?1 。
4. 图示一平面简谐波在 t = 2 s时刻的波形图，波的振幅为 0.2 m，周期为4 s。则图中P点处质点的振动方程为yp?0.2cos(112?t?2?)(SI)。 y(m)AuOPx(m)
5. 一简谐波沿x轴正向传播。x1和x2两点处的振动曲线分别如图(a)和(b)所示。已知x2?x1且
3?x2?x1??(?为波长)，则x2点的相位x1比点相位滞后2。
y1O1t(a)y2O2t(b)
6. 一简谐波沿x轴正方向传播。已知x = 0点的振动曲线如图，试在它下面画出t = T时的波形曲线。
yyuOT/2TtO?/2?x
7. 在截面积为S的圆管中，有一列平面简谐波在传播，其波的表达为y?Acos(?t?2?x?)，管中波的平均能量密度是w, 则通过截面积S的平均能流是??2?Sw。
8.在同一媒质中两列频率相同的平面简谐波的强度之比 I1I?16，则这两列波的振幅之比是 2 A1A?____4__________。 2
三 计算题
1. 一平面简谐波沿x轴正向传播，波的振幅A = 10 cm，波的角频率?= 7rad/s.当t = 1.0 s时，x = 10 cm处的a质点正通过其平衡位置向y轴负方向运动，而x = 20 cm处的b质点正通过y = 5.0 cm点向y轴正方向运动．设该波波长?>10 cm，求该平面波的表达式．
解：设平面简谐波的波长为?，坐标原点处质点振动初相为?，则该列平面简谐波的表达式可写成 y?0.1cos(7?t?2?x/???) (SI)
t = 1 s时 y?0.1cos[7??2?(0.1/?)??]?0 因此时a质点向y轴负方向运动，故
7??2?(0.1/?)???12? ① 而此时，b质点正通过y = 0.05 m处向y轴正方向运动，应有
y?0.1cos[7??2?(0.2/?)??]?0.05 且 7??2?(0.2/?)????13? ② 由①、②两式联立得 ?? = 0.24 m ???17?/3 ∴ 该平面简谐波的表达式为
y?0.1cos[7?t??x0.12?173?] (SI) 或 y?0.1cos[7?t??x10.12?3?] (SI)
2. 一平面简谐波沿Ox轴的负方向传播，波长为，P处质点的振
yP (m) 动规律如图所示．
(1) 求P处质点的振动方程； (2) 求此波的波动表达式；
0 1 t (s) (3) 若图中 d?12? ，求坐标原点O处质点的振动方程．
-A 解：(1) 设x = 0 处质点的振动方程为 y?Acos2(??t??) 由图可知，t = t＇时 y?Acos2(??t???)?0 d dy/dt??2??Asin(2??t???)?0
O 所以 2??t?????/2 ， ??1P x 2??2??t?
x = 0处的振动方程为 y?Acos[2??(t?t?)?12?]
(2) 该波的表达式为 y?Acos[2??(t?t??x/u)?12?]
- 20 -