（3）设直线AC的函数表达式为y=kx+b． 将点A和点C的坐标代入得：
∴直线AC的函数表达式为y=﹣x﹣5． ①当MN为边时，如图2所示：
，解得k=﹣1，b=﹣5．
设点P（n， n+n﹣5），则点Q（n+1， n+n﹣6），点N（n+1，﹣n﹣6）． ∴n2+n﹣6=（n+1）2+（n+1）﹣5，解得n=﹣3． ∴点N的坐标为（﹣2，﹣3）．
当MN是平行四边形的对角线时，如图3所示：
22
设点E的坐标为（m，0），则M（m，﹣m﹣5），N（m+1，﹣m﹣6）． ∵PM=QN，P（m， m2+m﹣5），Q（m+1，（m+1）2+（m+1）﹣5）． ∴﹣m﹣5﹣（m2+m﹣5）=（m+1）2+（m+1）﹣5﹣（﹣m﹣6），解得m=﹣3±∴点N的坐标为（﹣2
．
，﹣3﹣）或（﹣2﹣，﹣3+）．
26
综上所述，以点P、Q、N、M为顶点的四边形是平行四边形时，点N的坐标为（﹣2，﹣3）或（﹣2
，﹣3﹣
）或（﹣2﹣
，﹣3+
）．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了点的坐标与函数解析式的关系、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理、平行四边形的性质，用含字母n或m的式子表示出点M、P、Q、N的坐标，然后依据平行线四边形的性质列出关于m或n的方程是解题的关键．
23．（13分）（2017?山西模拟）问题情境：
如图1，已知点E、F分别在正方形ABCD的边AB、BC上，且BE=BF，点M为AF的中点，连接CE、BM．
（1）线段CE与BM之间的数量关系是 CE=2BM ，位置关系是 垂直 ． 猜想证明：
（2）如图2，将线段BE和BF绕点B逆时针旋转，旋转角均为α（0°＜α＜90°），点M为线段AF的中点，连接BM，请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，说明理由． 探索发现：
（3）将图1中的线段BE和BF绕点逆时针旋转，旋转角为α=90°，点M为线段AF的中点，得到如图3所示的图形，请你判断线段CE与BM之间的数量关系是否发生变化，请说明理由． 【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到CE=AF，∠BAF=∠BCE，根据直角三角形的性质得到BM=AM=AF=CE，得到∠BAM=∠ABM，根据垂直的定义即可到结论；
（2）如图2，延长AB到N，使NB=AB，连结FN，推出MB为△ANF的中位线，根据三角形中位线的性质得到FN=2BM，根据全等三角形的性质得到FN=CE，得到CE=2BM，根据平行线的性质得到∠MBA=∠N，即可到结论；
（3）线段CE与BM之间的数量关系没有发生变化．根据线段间的数量关系进行推理即可．
27
【解答】解：（1）线段CE与BM之间的数量关系是CE=2BM，位置关系是CE⊥BM； 证明：如图1，在△ABF与△CBE中，，
∴△ABF≌△CBE， ∴CE=AF，∠BAF=∠BCE， ∵点M为AF中点， ∴BM=AM=AF=CE， ∴∠BAM=∠ABM， ∴∠BCE=∠ABM，
∵∠BCE+∠BEC=∠BEC+∠BCM=90°， ∴BM⊥CE；
故答案为：CE=2BM，垂直；
（2）（1）的两个结论仍然成立，理由为： 证明：如图2，延长AB到N，使NB=AB，连结FN， ∵M为AF中点，B为AN中点， ∴MB为△ANF的中位线， ∴FN=2BM，
∵∠CBA=∠CBN=∠EBF=90°，
∴∠ABC+∠ABE=∠CBN+∠CBF，即∠CBE=∠NBF， 在△CBE和△FBN中，，
∴△CBE≌△FBN（SAS）， ∴FN=CE， ∴CE=2BM，
∵MB为△ANF的中位线， ∴BM∥FN， ∴∠MBA=∠N， 又∵△CBE≌△NBF，
28
∴∠BCE=∠N， ∵∠MBA+∠CBM=90°，
∴∠ECB+∠ABM=90°，即CE⊥BM．
（3）线段CE与BM之间的数量关系没有发生变化．理由如下： 如图3，设AB=BC=a，BE=BF=b，则CE=a+b． ∵点M为AF的中点， ∴MF=（a﹣b），
∴BC=b+（a﹣b）=（a+b）， ∴CE=2BM．
【点评】此题考查了几何变换综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，是一道多知识点探究性试题．
29