医学统计学
第四讲：总体均数的估计和假设检验 医学统计学的最基本问题是研究总体与样本的关系。 总体与样本的关系，可从两方面研究：
（1） 由已知的总体，研究样本的分布规律，即由总体到样本的
研究过程；
（2） 由样本如何去推断未知的总体，属于从样本到总体的研究
过程。
1、 从一个正态总体中抽取的样本统计量分布
生物学中遇到最多的是正态总体。对于正态总体，可以用数学推演的方法，得出严格的样本统计量的抽样分布，有了严格的样本分布规律，就可以由样本来推断总体了。 标准差已知时的样本平均数的分布——u分布
平均数为?，标准差为?的正态总体中，独立随机的抽取含量为n的样本，则：
?x?? ?x??n
样本平均数是一服从正态分布的随机变量，记为X。 将平均数标准化，则：
u?x???n
其中的分母称为平均数的标准误差（standard error of mean）。如果变量是正态的或近似正态的，则标准化的变量服从或近似地服从N（0，1）分布。
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1、标准差已知时的样本平均数的分布——t分布 (t-distribution) 若上式中的?是未知的，可用样本标准差代替总体标准差，标准 化变量并不服从正态分布，而服从具有n-1自由度的t分布。
t?x??Sn
t分布也是一种对称分布，它只有一个参数，即自由度（degree of freedom）t 分布与标准正态分布相比有以下特征： （1）二者都是单峰分布，以0为中心，左右两侧对称。
（2）t分布的峰部较矮而尾部翘得较高，说明远側t 值的个数相对较多，即尾部面积（概率P）较大。
自由度越小这种情况越明显。?逐渐增大时，t分布逐渐逼近标准正态分布；当 ?=? 时，t分布就完全成为标准正态分布了。 2、统计推断
统计推断是讨论如何通过样本去推断总体。由样本推断总体是以各种样本统计量的抽样分布为基础的。 对总体做统计推断（statistical inference ）, 可以通过两条途径进行。
一是通过样本统计量估计总体参数；二是首先对所估计的总体提出一个假设，例如假设这个总体的平均数? 等于某个值? 0 ，然后，通过样本数据去推断这个假设是否可以接受，如果可以接受，样本很可能抽自这个总体；否则很可能不是抽自这个总体。前一种途径称为总体参数估计（estimation of population parameter）,后一种途径称为统计假设检验（statistical test of hypothesis ）。这两种不同的统计分析方法
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在实际工作中可互相参照使用。
1、总体均数的估计——区间估计（internal estimation）即按一定的概率估计总体均数在哪个范围。可根据资料的条件选用不同的方法。 （1）?未知时。一般用t分布的原理作区间估计。 根据
P(?t?,??t ? t?,?)?1?? (1-? 为可信度)得 P(-t?,??x??s/n?t?,?)?1?? 于是得可信度为1-? 时，计算总体均数可信区间的通式为：
习惯上，常取1-? =0.95， 即95%可信区间；或取1-? =0.99， 即99%
X?t?,?(可信区间。
sn)??? X ? t?,?(sn)例题1、对某人群随机抽取20人，用某批号的结核菌素作皮试，平均侵润直径为10.9mm，标准差为3.86mm。问这批结核菌素在该人群中使用时，皮试的平均侵润直径的95%可信区间是多少？ 本例，n=20, ?=n-1=20-1=19, ?=0.05（双側）查附表，得t0.05,19=2.093
(10.9?2.093?3.8620 , 10.9 ?2.093?3.8620) ? (9.1 , 12.7) 所以，该人群皮试的平均侵润直径的95%可信区间为9.1~12.7mm 。
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（2）?已知或样本例数n足够大时，按正态分布原理作区间估计。
?已知时 (X-u???nsn , X ?u??, X ?u? ??nsn)? 未知但n大 (X - u??)
例题2 由某地成年男子中抽得144人的样本，求得红细胞数的均数为5.38?1012/ L, 标准差为0.44?1012/ L, 试估计该地成年男子红细胞均数的95%可信区间。
本例 n?144, x?5.38, s?0.44, ??0.05, 由于n较大可取u0.05?1.96 (5.38-1.96?0.44144 , 5.38 ? 1.96?0.44144)?(5.31 , 5.45)该地成年男子红细胞均数的95%可信区间为(5.31, 5.45)。
可信区间的涵义 意思是从总体中作随机抽样，每个样本可以算出一个可信区间，如95%可信区间，意味着100次抽样，算得100个可信区间，平均有95个可信区间包括总体均数（估计正确），只有5个可信区间不包括总体均数（估计错误）。5%是小概率事件，实际发生的可能性小，因此，在实际应用中就认为总体均数在算得的可信区间内, 这种估计方法会冒5%犯错的风险。
可信区间的两个要素 一是准确度，反映在可信度1-?的大小，即区间包含总体均数的概率的大小，当然愈接近1愈好；二是精度，反映在区间的长度，当然长度愈小愈好。在样本例数确定的情况下，二者是矛盾的。一般情况下，在可信度确定的情况下，增加样本例数，
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可减少区间长度，提高精度。