(1?cos?)2(1?cos?)21?cos?==， 221?cos?sin?1?cos?∵
(1?cos?)2sin2?=
?cos??1?0?cos??1cos??1， ∴ ?????无解，
sin??0sin??0sin???∴ 不存在这样的?使所给等式成立。 例5．已知sin(?-?)-cos(?+?)=
?2,
397∴ 2sin?cos?=-,
9?∵
24∴ sin?-cos?=(sin??cos?)2=1?2sin?cos?=.
3??（2）sin3(+?)+cos3(+?)=cos3?-sin3?
222
=(cos?-sin?)(cos?+sin?cos?+sin2?) 47=-(1-) 31822=-. 27例6．已知sin(?-?)=2cos(?-2?),求下列三角函数的值：
sin(???)?5cos(2???)5（1） （2）1+cos2?-sin2?.
3??23sin(??)?cos(??)22解：由已知：-sin?=2cos?，有 tg?=-2, 则
?sin??5cos??tg??57（1）原式===-。
?3cos??sin??3?tg?55（2）1+cos2?-sin2?
255sin2??2cos2??sin2?tg2??2??2tg?22== 222tg??1sin??cos? 求：（1）sin?-cos?的值 （2）sin3(
(?2)2?2?5(?2)16==.
5(?2)2?1asin??bcos?评述：对于形如为关于sin?与cos?的一次分式齐次式，处理
csin??dcos?的方法，就是将分子与分母同除以cos?，即可化为只含tg?的式子。而对于1+cos2?-5sin2?属于关于2sin?与cos?的二次齐次式。即
sin2?+2cos2?-5sin?cos?. 此时若能将分母的“1”用sin2?+cos2?表示的话，这样就构成了关于sin?与cos?的二次分式齐次式，分子分母同除以cos2?即可化
为只含有tg?的分式形式。
例7．求函数y=25?x2+logsinx(2sinx-1)的定义域。
?25?x2?0??sinx?0解：使函数有意义的不等式为：?
?
?sinx?1??2sinx?1?0????5?x?5??2k????x?2k??5?(k?Z) ?66???x?2k???2(k?Z)将上面的每个不等式的范围在数轴上表示出来，然后，取公共部分，由于x?[-5,5]，故下面的不等式的范围只取落入[-5，5]之内的值，即
∴因此函数的定义域为：
[-5,-3?2)∪(-3?7????5?2,-6)∪(6,2)∪(2,6)。
例8．求证：sec??tg??11?sin?sec??tg??1=cos?.
证法一（左边化弦后再证等价命题） 1?sin??1左边=cos?cos?1?sin??cos?1sin?=1?sin??
cos??cos??1cos?要证 1?sin??cos?1?sin??cos?=1?sin?cos?
只需证：(1+sin?+cos?)cos?=(1-sin?+cos?)(1+sin?) 左边=cos?+sin?cos?+cos2?
右边=1-sin2?+cos?+cos?sin?=cos2?+cos?+sin?cos? ∵左边=右边，∴原等式成立。
或证等价命题：1?sin??cos?11?sin??cos?-?sin?cos?=0
证法二（利用化“1”的技巧）
左边=sec??tg??(sec2??tg2?)sec??tg??1
=
?sec??tg??(1?sec??tg?)?1=sec?+tg?=1?sin?sec??tg?cos?=右边。 证法三（利用同角关系及比例的性质） 由公式 sec2?-tg2?=1
?(sec?-tg?)(sec?+tg?)=1
sec??tg?1=. sec??tg?1sec??tg??11?sin?由等比定理有：=sec?+tg?=.
1?sec??tg?cos??
证法四（利用三角函数定义） 证sec?=, tg?=
rxyyx, sin?=, cos?=.
rxr然后代入所证等式的两边，再证是等价命题。
其证明过程同学自己尝试一下。
评述：证明三角恒等式的实质，就是逐步消除等号两边结构差异的过程，而“消除差异”的理论依据除了必要三角公式以外，还需要有下列等式的性质：
(1)若A=B，B=C则A=C（传递性） (2)A=B?A-B=0
(3)A=B?(4)
A=1 (B?0) BAC=? AD=BC (BD?0) BD(5)比例：一些性质，如等比定理： 若
aa?a2???ana1a2aa1a2==??=n，则1===??=n。
b1?b2???bnb1b2b1b2bnbn?所在的象限是（ ） 2A、第一象限 B、第一或第三象限 C、第二象限 D、第二或第四象限
2．在下列表示中正确的是（ ）
?A、终边在y轴上的角的集合是{?|?=2k?+, k?Z}
2?B、终边在y=x的直线上的角的集合是{?|?=k?+, k?Z}
4??C、与(-)的终边相同的角的集合是{?|?=k?-, k?Z}
33?D、终边在y=-x的直线上的角的集合是{?|?=2k?-, k?Z}
43logsin?3．若?
2A、sin(?-?) B、-sin? C、cos(?-?) D、-csc?
x?4．函数y=2sin(?)在[?，2?]上的最小值是（ ）
26A、2 B、1 C、-1 D、-2 5．已知函数y=cos(sinx)，下列结论中正确的是（ ） A、它的定义域是[-1，1] B、它是奇函数； C、它的值域是[0, 1] D、它是周期为?的函数
?6．设0 4A、sin(sinx) 1．如果?是第二象限角，则 ?3?4=，cos=-，则??[0, 2?]，终边在（ ） 5252A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 8．如果一弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是（ ） 11?1A、sin B、 C、 D、2sin 1226sin22k?169．化简三角函数式tg(?+?) (k?Z), 结果是（ ） 72??6??A、tg B、ctg C、ctg D、-tg 7777??sin?tg?10．设??(0, )，A??cos??，B??sec??的大小是（ ） 2A、A>B B、A≥B C、A 答案: B B D C D A D C B C 正、余弦函数的有界性在解题中的作用 7．若sin 正、余弦函存在着有界性，即sinx?1，cosx?1，在一些数学问题中灵活地加以运用，沟通三角函数与数值间的关系，能大大简化解题过程。 例1．若实数x满足log2x?2sin??3，求x?2?x?32的值。 解：原方程可化为sin??3?log2x， 23?log2x?1， 2因为?1?sin??1，所以?1?所以1?log2x?5，所以2?x?32 所以x?2?x?32?x?2?32?x?30。 例2．在?ABC中，cos?A?B??sin?A?B??2，试判定三角形的形状。 解：因为cos?A?B??1，sin?A?B??1，又cos?A?B??sin?A?B??2， 所以cos?A?B??1，sin?A?B??1 而???A?B??，0?A?B??， 于是A?B?0，A?B?所以，A?B??2 ?4。故?ABC为等腰直角三角形。 A?CAC3?sin2?sin2? 3324例3．已知四边形ABCD中的角A、C满足cos2求证：B?D?? 证明：由已知条件有cos2A?C1?2A?1?2C?3??1?cos?1?cos???? 32?3?2?3?4A?CA?C1?A?C?所以cos2?cos??0 ??cos3334??由于cosA?CA?CA?C1?1。从而cos2?cos??0 333422A?C1?A?C1??????0，但?cos???0， 所以?cos3232????A?C1A?C1??0，cos?。 3232所以A?C??，故B?D??。 所以cos例4．已知函数f?x??ax?b，2a2?6b2?3，求证：对于任意x???1,1?，有 f?x??2。 ?2??证明：因为2a2?6b2?3，所以??3a????令 2a?sin?，2b?cos?，则a?331sin?x?cos??222?2b?2?1。 21sin?，b?cos? 32所以f?x???3x2?11?sin????????arctg? ??23x??从而f?x??3x2?1sin??????23x?1223x2?1 24?2 234又x?1，故f?x??例5．证明：1?证明：设sin???sin??cos??2。 34cos??k，则只须证明1?k?2。