方法之一是一一验证．即通过已知条件解出：an＝
7an＋1－4
．由此，我们可an＋1+3
以从a7出发，计算出这个数列的第6项到第1项，从而得出结论．
另外，得益于上述解法，我们也可以考虑这样的问题：“若an＋1＞2，能否得出an＞2”？
由an－2＝
7an＋1－45(an＋1－2)
－2＝ 不难得知：上述结论是正确的． an＋1+3an＋1+3
所以，存在m＝10，使得当n≥m时，an＜2；当n＜m时，an＞2．
（Ⅱ）问题等价于：是否存在自然数p，使得当n≥p时，总有an－1－an＋1－2 an＜0．
2(an＋1－2)3
由（Ⅰ）可得：an－1－an＋1－2 an＝．
(7－an＋1)(3＋an)
我们已经知道：当n≥10时，an＜2，于是(an＜2)3＜0，（7－an）＜0，所以，我们只需考虑：是否存在不小于10的自然数p，使得当n≥p时，总有an＞－3？
观察前面计算的结果，可以看出：a10＜－3 ，a11，a12，a13均大于－3，可以猜想：p＝11 即可满足条件．
这样的猜想是否正确？我们只需考查an＋1＋3与an＋3的关系： 由an＋1＋3＝
3an＋425
＋3＝ 可知：上述结论正确． 7－an7－an
另外，如果我们注意到从a11到a13，数列的项呈递增的趋势，则也可以考虑an＋1－an．
3an＋4(an－2)2
由an＋1－an －an ＝ ＞0，从而得出结论．
7－an7－an
说明：（1）归纳、猜想是建立在细致的观察和缜密的分析基础上的，并非无源之水、无本之木．（2）上述分析的过程如果用数学归纳法写出，则相当简洁，但同时也掩盖了思维的过程．
四、由递推公式探求数列问题
3
例11．设An为数列{an}的前n项的和，An＝(an－1)，数列{bn}的通项公式
2
为bn＝4n＋3。
（1）求数列{an}的通项公式； （2）把数列{an}与{bn}的公共项按从小到大先后顺序排成一个新的数列{dn}，证明数列{dn}的通项公式为dn＝32n＋1;
（3）设数列{dn}的第n项是数列{bn}中的第r项，Br为数列{bn}的前r项的和，Dn为数列{dn}的前n项和，Tn＝Br－Dn，求limTn
4。
n??an
33
解：（1）由An＝ (an－1)，可知An＋1＝ (an＋1－1)
223an＋1
∴An＋1－An＝ (an＋1－an)＝an＋1，即 ＝3
2an3
而a1＝A1＝ (a1－1)，得a1＝3
2
所以数列{an}是以3为首项，公比为3的等比数列，数列{an}的通项公式为an＝3n。
（2）∵32n＋1＝3·32n＝3·(4－1)2n
＝3×（42n＋C12n·42n－1(－1)＋?＋C2n2n－1·4·(－1)＋(－1)2n） ＝4m＋3 ∴32n＋1∈{bn}
而数32n＝（4－1）2n
＝42n＋C2n1·42n－1·（－1）＋?＋C2n2n－1·4·(－1)＋(－1)2n ＝(4k＋1) ∴32n?{bn}
而数列{an}＝{32n＋1}∪{32n} ∴ dn＝32n＋1
(3)由3
2n＋1
32n＋1－3
＝4·r＋3，可知r＝
4
r(7＋4r＋3)32n＋1－332n＋1＋7∵Br＝ ＝r(2r＋5)＝ · 242Dn＝
2727
·(1－9n)＝ (9n－1) 1－98
92n＋1＋4·32n＋1－2127∴Tn＝Br－Dn＝ － (9n－1)
889153
＝ ·34n－ ·32n＋
884
又∵（an）4＝34n ∴lim
例12． 已知函数f(x)＝x＋x2－a2 (a>0) （1）求f(x)的反函数f－1(x)及其定义域；
??a1＝3a
（2）数列{an}满足? －1
?an＋1＝f(an)?
an－a7
设bn＝ ，数列{bn}的前n项和为Sn，试比较Sn与 的大小，并证明你
an＋a8的结论。
22
y＋a
解：（1）给y－x＝x2－a2 两边平方，整理得 x＝
2y
Tn94＝ n??an8
y2＋a2y2－a2(y＋a)(y－a)
∵y－x＝y－ ＝ ＝ ≥0
2y2y2y∴y≥a或－a≤y<0
22x＋a
故f－1(x)＝ ，其定域为[－a,0)∪[a,＋∞)
2x
an2＋a2
（2）∵an＋1＝f(an)＝ 2an
－1
∴bn＋1＝
an＋1－aan－a
＝?＝（ ）2＝bn2 (可两边取对数求解)
an＋1＋aan＋a
a1－a3a－a1
又a1＝3a，b1＝ ＝ ＝
a1＋a3a＋a2∴bn＝(bn－1)＝(bn－2)＝(bn－3) 1n?1n?1＝?＝(b1) 2＝( )2
2∴Sn＝b1＋b2＋?＋bn
11[1－()n]22111111234n?1＝ ＋( )2＋( )2＋[( )2＋( )2＋?＋( )2]＝ ＝12222221
1－2
2
22231
－( )n 2
777
由此可知，当n＜3时，Sn＜ ，当n＝3时，Sn＝ ，当n＞3时，Sn＞ ．
88823n－1又∵2n－1＝(1＋1)n－1＝1＋C1n－1＋Cn－1＋Cn－1＋??＋Cn－1 2则当n≥4时，2n－1＞1＋C1n－1＋Cn－1 (n－1)(n－2)
＝1＋(n－1)＋ >n＋1
21n?11
∴( )2<( )n＋1
22
11
[1－()n]2211121311n?14∴Sn＝ ＋( )2＋( )2＋[( )2＋( )2＋?＋( )2]＝
2222221
1－21
＝1－( )n
2
7
由此可知，当n≥4时，Sn＞ ．
8
1112111137
当n＝3时，Sn＝ ＋( )2＋( )2＝ ＋ ＋ ＝ ＜ ．
22224161687
故知当n≤3 时，Sn＜ ．
8
说明：本题是一道数列与函数的综合题。首先应准确地求出f－1(x)及其定义域。搞清定义域是解题成功的一半。根据函数f(x)解析式的特点，也可以利用π3π
三角代换x＝asecθ，θ∈[0,)∪[π,) ，求函数f(x)的值域，即f－1(x)
22的定义域。
例13．已知数列{an}中，a1＝4，an＋1＝
4an－2
，是否存在这样的数列{bn}，an＋1
Ban＋Cbn＝ ，其中A、B、C为实常数，使得{bn}是等比数列而不是等差数列？证
an＋A
明你的结论，并求{an}的取值范围。
解：假设这样的{bn}存在，则应有
4an－24B＋CC－2B
＋Can＋an＋14＋A4＋ABan＋1＋C
bn＋1＝ ＝ ＝
an＋1＋A4an－2A－2
＋Aan＋an＋14＋A
B·
又 bn＝
Ban＋C an＋A
存在q≠0，q≠1，q为常数，使bn＋1＝qbn，对n∈N都成立，于是比较两边的分子和分母，有
?????
A－2
＝A (1)4＋A4B＋C
＝Bq (2) 4＋AC－2B
＝Cq (3)4＋A
由（1）可解得A＝－1或－2，由（2）、（3）可解得B＝－C或C＝－2B。
??A＝－11°若? 代入（2）知q＝1（B、C不能为0，否则bn＝0，不合题意要
?B＝－C?
求）舍去。
?A＝－1?
2°若?
??C＝－2B??A＝－23°当?
?B＝－C?
2
代入（2）得q＝
3
3
时，q＝ 2
时，q＝1（舍去）
??A＝－2
4°当?
?C＝－2B?
23
故现只取A＝－1，B＝1，C＝－2，q＝ （不必考虑q＝ 时的情况，因为
32只证存在性）。
得bn＝
an－2
an－1
所以满足题设条件的数列存在。
对于{an}的取值范围，我们可以这样解. ∵an＋1－an＝
4an－2
－an an＋1