＝－
(an－2)(an－1)
，a1＝4>2，故a2
(an＋1)
如果能证明所有的an都大于2，便可用数学归纳法证明{an}是单调递减的。事实上
∵an＋1－2＝
4an－22(an－2)
－2＝ an＋1an＋1
由上式，我们也可用数学归纳法由a1>2，得an>2，所以{an}单调递减。且因
为an>2，所以
2(an－2)2
an－2＝ < (an－1－2)
an＋1322
<( )2(an－2－2)
n??说明：存在性问题的解法常是假设存在经过推理、运算或是求出结论得出存在或是得出矛盾证明不存在。本题的{an}的范围还可用前半部分的结论来求。解法如下：
b1＝
a1－222an－22
＝ ，故bn＝( )n ∴ ＝( )n a1－133an＋13
121－()n
3
＋1
∴an＝
由此易得an∈(2，4]。
例14． （1）设数列{cn}，其中cn＝2n＋3n，且数列{cn＋1－pcn}为等比数列，求常数p。（2）设数列{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明：{cn}不是等比数列。
证明：（1）∵{cn＋1－pcn}是等比数列，故有 (cn＋1－pcn)2＝(cn＋2－pcn＋1)·(cn－pcn－1) 将cn＝2n＋3n代入上式，得：
[2n＋1＋3n＋1－p(2n＋3n)]2＝[2n＋2＋3n＋2－p(2n＋1＋3n＋1)]·[2n＋3n－p(2n－1＋3n－
1
)]
1
整理得： (2－p)(3－p)·2n·3n＝0
6
解之得：p＝2或p＝3。
（2）设{an}，{bn}的公比分别为p，q，p≠q，cn＝an＋bn。
为证{Cn}不是等比数列，只要证明c22≠c1·c3 事实上： c22＝(a1p＋b1q)2
＝a12p2＋b12q2＋2a1b1pq c1c3＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)
＝a12p2＋＋b12q2＋a1b1(p2＋q2)
∵p≠q，∴p2＋q2>2pq，又a1，b1不为零，∴c22≠c1·c3，故{cn}不是等比数列。
说明： 本题是2000年全国高考数学试题。其证法很多，建议读者从不同的角度审视此题。我们可以得出更一般的结论；
推论1：设数列{cn}，cn＝an＋bn且a≠b，则数列{cn＋1－pcn}为等比数列的充要条件是p＝a或p＝b。
推论2：设{an}、{bn}是两个等比数列，则数列{an＋bn}为等比数列的充要条件是，数列{an}，{bn}的公比相等。
推论3：公比为a、b的等比数列{an}，{bn}，且a≠b，s、t为不全为零的实数，cn＝san＋tbn为等比数列的充要条件是st＝0。
例15．数列{an}中，a1＝8，a4＝2且满足an＋2＝2an＋1－an n∈N （1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Sn＝|a1|＋|a2|＋?＋|an|，求sn;
（3）设bn＝
1
( n∈N)，Tn＝b1＋b2＋?＋bn( n∈N)，是否存在最
n(12－an)
m
成立？若存在，求出m的值；若不32
大的整数m，使得对任意n∈N，均有Tn＞存在，请说明理由。
解：（1）由an＋2＝2an＋1－an?
an＋2－an＋1＝an＋1－an，可知{an}成等差数列，d＝－∴an＝10－2n
（2）由an＝10－2n≥0得n≤5 ∴当n≤5时，Sn＝－n2＋9n 当n>5时，Sn＝n2－9n＋40
2
??－n＋9n 1≤n≤5
故Sn＝?2 （n∈N）
n－9n＋40 n＞5??（3）bn＝
a4－a1
＝－2 4－1
11111
＝ ＝ (－ )
n(12－an)n(2n＋2)2nn＋1
∴Tn＝ b1＋b2＋?＋bn
1111111111
＝ [(1－ )＋( － )＋( － )＋??＋( － )]＝ (1－ )222334n－1n2n＋1n＝ 2(n＋1)
n－1＞ ＞Tn－1＞Tn－2＞??＞T1. 2n
mm1
∴要使Tn> 总成立，需 32324的最大值为7． 2006年高三数学数列专题训练题 一.选择题: 1．lgx，lgy，lgz成等差数列是x，y，z成等比数列的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．(文)在等比数列?an?中,则a7·a11=6，a4?a14?5,则 A. a20=( ) a10232323 B. C.或 D.?或? 323232(理)若?an?是等比数列,其中a3,a7是方程2x2?3kx?5?0的两根,且 (a3?a7)2?4a2a8?1,则k的值为( ) A.?228211 D. 11 B.11 C.?33333．数列?an?满足an A.?>0 B.?<0 C.?=0 D.?>-3 4．设数列1,(1+2),(1+2+22)?(1+2+22+?+2n?1)的前n项和为Sn,则Sn等于( ) A.2n B.2n-n C.2n?1-n D.2n?1-n-2 5．某工厂月生产总值平均增长率为p,则年平均增长率为( ) A.12P B.p12 C.(1?p)12?1 D.(1?p)12 6．在数列?an?中,已知a1?1,a2?5,an?2?an?1?an(n?N?),则a2006等于( ) A.5 B.4 C.-1 D.-4 7．(理)给出一系列碳氢化合物的分子式:C6H6,C10H8,C14H10?,则该系列化合物的分子中含碳元素的质量分数最大可无限接近于( ) A.95% B.96% C.97% D.98% (文)若数列?xn?的前n项和为Sn,且loga(sn?1)?n,则数列?xn?( ) A.只能是递增的等比数列 B.只能是递减的等差数列 C.只能是递减的等比数列 D.可能是常数列 11a?b8．已知1是a2与b2的等比中项,又是与的等差中项,则2的值为( ) 2aba?b1111A.1或-? B.1或- C.1或 D.1或 23329．若方程x2?5x?m?0与x2?10x?n?0的四个实根适当排列后,恰好组成一个首项为1的等比数列,则m：n的值为( ) A.4 B.2 C. 11 D. 2410．等比数列?an?的首项为2?5,其前11项的几何平均数为25,若在这前11项中抽取一项后的几何平均数为25,则抽出的是( ) A.第6项 B. 第7项 C. 第9项 D. 第11项 11．如图所示,在杨辉三角中,斜线AB上方箭头所示的数组成的一个锯齿形的数列:1,2,3,3,6,4,10,?,记这个数列的前n项的和为S(n),则S(16)等于( ) A.128 B.144 C.155 D.164 12．（理）在等比数列?an?中,a1?sec?(?为锐角),且前n项和Sn满足limSn?n??1,那么?的取值范围是( ) a1A.(0, ????) B.(0,) C.(0,) D.(0,) 6432（文）根据调查，预测某家电商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn（万件）近似的满足Sn?n21n?n2?5??n?1,2,3,?,12?，按此预测，在本年度需求量超过?901.5万件的月份是（ ） A．5月和6月 B．6月和7月 C．7月和8月 D．8月和9月 二．填空题: 13．已知lgx?lgx2?...?lgx10?110,则lgx?lg2x????lg10x=_____________ 14. 设数列?an?的前n项和为Sn（n?N*）. 关于数列?an?有下列三个命题： （1）若?an?既是等差数列又是等比数列，则an?an?1b?R?，则?an?是等差数列； （2）若Sn?an2?bn?a、(n?N*)； （3）若Sn?1???1?n，则?an?是等比数列. 这些命题中，真命题的序号是 . 15．已知等差数列有一性质:若?an?是等差数列.则通项为bn?a1?a2?...an的数列 n?bn?也是等差数列,类似上述命题,相应的等比数列有性质:若?an?是等比数列 (an?0),则通项为bn=______ _______的数列?bn?也是等比数列 16．依次写出数a1?1，a2，a3，?法则如下：如果an?2为自然数且未写出过，则写an?1?an?2，否则就写an?1?an?3，那么a6? 三．解答题: 17．设数列{a n}的前n项和为S n，已知an＝5S n－3 （n∈N＋），{bn}是{a n}的奇数项构成的数列，求数列{bn} 的通项公式． ?1?18．数列?an?满足条件a1?1,an?an?1????3?n?1(n?2,3,?) (1)求an; (2)求a1?a2?a3???an. 19．已知数列?an?是等差数列，其前项和为sn,a3?7,s4?24。 （1）求数列?an?的通项公式 1（2）设p,q是正整数，且p?q，证明Sp?q?(S2p?S2q) 2 20．用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%，若交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第十个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这件家电实际花了多少钱？