因为k2?sin??cos??2sin?cos?? ?1?sin2??2sin2?
?sin??cos??2?2sin2?
因为0?sin2??1，所以1?k2?2?2?22， 从而1?k?2。故1?34sin??cos??2。
34例6．复数z1，z2，z3的幅角分别为?、?、?，z1?1，z2?k，z3?2?k，且z1?z2?z3?0，问k为何值时，cos?????分别取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值。
解；因为z1?cos??isin?，z2?k?cos??isin??，z3??2?k??cos??isin??， 因为z1?z2?z3?0，
所以?cos??kcos???2?k?cos???i?sin??ksin???2?k?sin???0。 因而cos???kcos???2?k?cos?，sin???ksin???2?k?sin?。 两式平方相加得1?k2??k?2??2k?k?2?cos?????
2由题设知k?0，k?2，
2?k?2??k2?13?1?所以cos????????（＊） 22k?k?2?2?k?1??2因为cos??????1，所以?2?解之得
13?k?。 2232?k?1??22?0，
1由（＊）知，当k?1时，?cos??????min??。
21313又由（＊）及?k?知，当k?、时，?cos??????min??1。
2222例7．设a为无理数，求证：函数f?x??cosx?cosax不可能是周期函数。 证明：假设f?x?是周期函数，则存在常数T?0，使对于任意的x，
cos?x?T??cosa?x?T???cosx?cosax都成立。
令x?0得，cosT?cosaT??cos0?cos0?2 因为cosT?1，cosaT?1，所以cosT?cosaT?1
从而T?2K?，aT?2L??K,L为整数? 所以a?aTL?。 TKL为有理数，但a为无理数，这是不可能的，故命题K此时K，L为整数，则
成立。
1．（2002年全国）在(0,2?)内，使sinx>cosx成立的x取值范围为（ ）。
??5?? A、(,)?(?,) B、(,?)
4244?5??5?3? C、(,) D、(,?)?(,)
44442???5?解：在(,)内，sinx>cosx，在[,?]内sinx>cosx；在(?,)内，sinx>cosx；
4224综上，∴ 应选C。
2．（2001年全国） tg3000?ctg4050的值为（ ）。
A、1?3 B、1?3 C、?1?3 D、?1?3 解：tg3000?ctg4050
?tg(3600?600)?ctg(3600?450) ??tg600?ctg450
??3?1∴ 应选B。 3．（1998年全国）已知点P(sin?-cos?,tg?)在第一象限，则在[0，2?]内?的取值范围是（ ）
?3?5???5? A、(,)?(?,) B、(,)?(?,)
244424?3?5?3???4? C、(,)?(,) D、(,)?(,?)
2442423?sin??cos??0?sin??cos???解：由题设，有?tg??0 ???3?
??(0,)?(?,)?0???2??22?? 在[0，2?）的范围内，在同一坐标系中作出y=sinx和y=cosx的图像，
?5?可在??(,)时，sin?>cos?。
44??5? ∴??(,)?(?,)
424 应选B。 4．（1998年全国）sin600?的值是（ ）。
3311 A、 B、? C、 D、?
2222解：sin600?=sin(360?+240?)=sin240? =sin(180?+60?)=-sin60?
3 =?
2 ∴应选D。
2006年考前必练数学创新试题 数列经典题选析
数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.
一、等差数列与等比数列
例1．A＝{递增等比数列的公比}，B＝{递减等比数列的公比}，求A∩B． 解：设q∈A，则可知q>0（否则数列为摆动数列）．
nn－1n－1
由an＋1－an＝a1·q－a1·q＝a1·q(q－1)>0，得 当a1＞0时，那么q＞1；当a1＜0时，则0＜q＜1． 从而可知 A＝{q | 0
若q∈A，同样可知q>0．由an＋1－an＝a1·qn－a1·qn－1＝a1·qn－1(q－1)＜0，得
当a1＞0时，那么0＜q＜1；当a1＜0时，则q＞1． 亦可知 B＝{q | 0
说明：貌似无法求解的问题，通过数列的基本量，很快就找到了问题的突破口！
例2．求数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，??，(1＋2＋22＋??＋2n－1)，??前n项的和．
分析：要求得数列的和，当务之急是要求得数列的通项，并从中发现一定规律．而通项又是一等比数列的和．设数列的通项为an，则an＝1＋2＋22＋??＋1·(1－2n)2＝ ＝2n－1．从而该数列前n项的和
1－2
n－1
Sn＝(2－1)＋(22－1)＋(23－1)＋?＋(2n－1)
2·(1－2)
＝(2＋22＋23＋?＋2n)－n＝ －n＝2n＋1－n－2．
1－2说明：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
n(a1?an)n(n?1)1、等差数列求和公式：Sn??na1?d
22(q?1)?na1?2、等比数列求和公式：Sn??a1(1?qn)a1?anq
?(q?1)?1?q?1?qn
13、Sn??k?n(n?1)
2k?114、Sn??k2?n(n?1)(2n?1)
6k?1nn15、Sn??k3?[n(n?1)]2
2k?1n常用的数列求和方法有：利用常用求和公式求和；错位相减法求和；反序相
加法求和；分组法求和；裂项法求和；合并法求和；利用数列的通项求和等等。
1
例3．已知等差数列{an}的公差d＝ ，S100＝145．设S奇＝a1＋a3＋a5＋??
2＋a99，S＇＝a3＋a6＋a9＋??＋a99，求S奇、S＇．
解：依题意，可得 S奇＋S偶＝145，
即S奇＋(S奇＋50d)＝145， 即2 S奇＋25＝145， 解得，S奇＝120．
又由S100＝145，得
(a1＋a100)100
＝145，故得a1＋a100＝2.9
2
S＇＝a3＋a6＋a9＋??＋a99 ＝
(a3＋a99)33(a2＋a100)33(0.5＋a1＋a100)33(0.5＋2.9)33
＝ ＝ ＝ ＝2222
1.7·33＝56.1．
说明：整体思想是求解数列问题的有效手段！
例4．在数列{an}中，a1＝b(b≠0)，前n项和Sn构成公比为q的等比数列。 （1）求证：数列{an}不是等比数列；
（2）设bn＝a1S1＋a2S2＋?＋anSn，|q|<1，求limbn。
n??解：（1）证明：由已知S1＝a1＝b ∵{Sn}成等比数列，且公比为q。 ∴Sn＝bqn－1，∴Sn－1＝b·qn－2(n≥2)。
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝bqn－1－bqn－2＝b·(q－1)·qn－2 an＋1b(q－1)·qn－1
故当q≠1时， ＝ ＝q，
anb(q－1)·qn－2
a2b(q－1)
而 ＝ ＝q－1≠q，∴{an}不是等比数列。 a1b
当q＝1，n≥2时，an＝0，所以{an}也不是等比数列。 综上所述，{an}不是等比数列。
（2）∵|q|<1，由（1）知n≥2，a2，a3，a4，?，an构成公比为q的等比数列，∴a2S2，a3S3，?，anSn是公比为q2的等比数列。
∴bn＝b2＋a2S2·(1＋q2＋q4＋?＋q2n－4) ∵S2＝bq，a2＝S2－S1＝bq－b ∴a2S2＝b2q(q－1)
1－q2n－2
∴bn＝b＋bq(q－1)· 1－q2
2
2
∵|q|<1 ∴limq2n－2＝0
n??1b2
∴limbn＝b＋bq(q－1)· ＝ n??1－q21＋q
2
2
说明： 1＋q＋q＋?＋q的最后一项及这个式子的项数很容易求错，故解此类题时要细心检验。数列的极限与数列前n项和以及其他任何有限多个项无关，它取决于n→∞时，数列变化的趋势。
二、数列应用题
例5． (2001年全国理)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业. 根据规划，本年度投入800万元，以后每年投1
入将比上年减少 .本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅
51
游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 。(Ⅰ)设n年内(本
4年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元. 写出an，bn的表达式(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?
15
解：第1年投入800万元，第2年投入800×(1－ )万元??， 541n－1
第n年投入800×(1－ )万元
5
114
所以总投入an＝800＋800(1－ )＋??＋800×(1－ )n－1＝4000［1－( )n］
5551
同理：第1年收入400万元，第2年收入400×(1＋ )万元，??，
41
第n年收入400×(1＋ )n－1万元
4
242n－4
bn＝400＋400×(1＋ )＋??＋400×(1＋ )n－1＝1600×［( )n－1］
141454