54
(2)∴bn－an＞0，1600［( )n－1］－4000×［1－( )n］＞0
454n5n化简得，5×( )＋2×( )－7＞0?
54
4242
设x＝( )n，5x2－7x＋2＞0? ∴x＜ ，x＞1(舍)? 即( )n＜ ，n≥5.?
5555说明：本题主要考查建立函数关系式，数列求和，不等式等基础知识，考查综合
运用数学知识解决实际问题的能力。解数学问题应用题重点在过好三关：(1)事理关：阅读理解，知道命题所表达的内容；(2)文理关：将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言，用数学关系式表述事件；(3)数理关：由题意建立相关的数学模型，将实际问题数学化，并解答这一数学模型，得出符合实际意义的解答。
例6．某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2001年底全县的绿化率已达30%。从2002年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化。 (1)设全县面积为1，2001年底绿化面积为a1＝
44
＋ an 255
3
，经过n年绿化总面积为an＋1 10
求证an＋1＝
(2)至少需要多少年(年取整数，lg2＝0.3010)的努力，才能使全县的绿化率达到60%？
(1)证明：由已知可得an确定后，an＋1表示如下：an＋1= an(1－4%)＋(1－an)16%
44
即an＋1=80% an +16%= an + 525
44
(2)解：由an＋1= an+可得：
525
4444444an＋1－ = (an－ )=( )2(an－1－ )=?=( )n(a1－ )
5555555
14n4314n4314n
故有an＋1＝－ ( )＋ ，若an＋1≥ ，则有－ ( )＋ ≥ 即 ≥( )2555255525
－1
两边同时取对数可得－lg2≥(n－1)(2lg2－lg5)＝(n－1)(3lg2－1)
lg2
故n≥ ＋1＞4，故使得上式成立的最小n∈N＋为5，
1－3lg2
故最少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60%.
三、归纳、猜想与证明
1
例7．已知数列{ an}满足Sn＋an＝ (n2＋3n－2)，数列{ bn}满足b1＝a1，
2且bn＝an－an－1－1(n≥2).
(1)试猜想数列{ an}的通项公式，并证明你的结论;
11
解：（1）∵Sn＋an＝ (n2＋3n－2)，S1＝a1，∴2a1＝ (1＋3×1－2)＝1，
22111172
∴a1＝ ＝1－ .当n＝2时，有 ＋2a2＝ (2＋3×2－2)＝4， ∴a2＝ ＝2
222241
－2 2
1
猜想，得数列{ an}的通项公式为an＝n－n
2(2)若cn＝b1＋b2＋?＋bn，求limcn的值.
n??17231
当n＝3时，有 ＋ ＋3a3＝8， ∴a3＝＝3－.3 2482用数学归纳法证明如下：
11
①当n＝1时，a1＝1－ ＝ ，等式成立.
221
②假设n＝k时，等式ak＝k－k 成立，那么
2
(k＋1)2＋3(k＋1)－2k2＋3k－2
n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝[ －ak＋1]－[ －ak],
221
.∴2 ak＋1＝k＋2＋ak， 2 ak＋1＝k＋2＋(k－k )，
2∴ak＋1＝(k＋1)－
12k＋1
，即当n＝k＋1时，等式也成立.
1
综上①、②知，对一切自然数n都有an＝n－n 成立.
2
1111
(2)∵b1＝a1＝ ，bn＝an－an－1－1＝[n－n ]－[(n－1)－n－1 ]－1＝n .
22221n1n
∴cn＝b1＋b2＋?＋bn＝1－( )， ∴limcn＝lim[1－( )]＝1.
n??n??22
例8．已知数列{an}满足a1＝2，对于任意的n∈N，都有an＞0，且(n＋1) an2
＋an an＋1－n an＋12＝0.又知数列{bn}满足：bn＝2n－1＋1..??
(Ⅰ)求数列{an}的通项an以及它的前n项和Sn；? (Ⅱ)求数列{bn}的前n项和Tn；? (Ⅲ)猜想Sn和Tn的大小关系，并说明理由.
解：(n＋1) an2＋an an＋1－n an＋12＝0.是关于an和an＋1的二次齐次式，故可利用求根公式得到an与an＋1的更为明显的关系式，从而求出an ．
(Ⅰ)∵an＞0（n∈N），且(n＋1) an2＋an an＋1－n an＋12＝0， ∴ (n＋1)(
an2an
)＋()－n＝0． an＋1an＋1
anann
∴＝－1或＝ ． an＋1an＋1n＋1∵an＞0（n∈N），∴
ann
＝ ． an＋1n＋1
ananan－1an－2a3a2nn－1n－232∴＝···??··＝ · · ·?· · ＝a1an－1an－2an－3a2a1n－1n－2n－321n．
又a1＝2,所以，an＝2n．
∴Sn＝a1＋a2＋a3＋??＋an＝2(1＋2＋3??＋n)＝n＋n． (Ⅱ)∵bn＝2n－1＋1，?
∴Tn＝b1＋b2＋b3 ＋??＋bn＝20＋21＋22＋??＋2n－1＋n＝2n＋n－1 (Ⅲ) Tn－Sn＝2n－n2－1．? 当n＝1时，T1－S1 ＝0，∴T1＝S1； 当n＝2时，T2－S2＝－1，?∴T2＜S2；
2
当n＝3时，T3－S3＝－2，?∴T3＜S3； 当n＝4时，T4－S4＝－1，?∴T4＜S4； 当n＝5时，T5－S5＝6，?∴T5＞S5； 当n＝6时，T6－S6＝27，，?∴T6＞S6；
猜想：当n≥5时，Tn＞Sn.即2n＞n2＋1.下用数学归纳法证明：? 1° 当n＝5时，前面已验证成立；
2° 假设n＝k（k≥5）时命题成立，即2k＞k2＋1.成立， 那么当n＝k＋1时，
2k＋1＝2·2k＞2(k2＋1)＝k2＋k2＋2≥k2＋5k＋2＞k2＋2k＋2＝(k＋1)2＋1． 即n＝k＋1(k≥5)时命题也成立．
由以上1°、2°可知，当n≥5时，有Tn＞Sn.；
综上可知：当n＝1时，T1＝S1；当2≤n＜5时，Tn＜Sn.，当n≥5时，有Tn
＞Sn.．
说明：注意到2n的增长速度大于n2＋1的增长速度，所以，在观察与归纳的过程中，不能因为从n＝1到n＝4都有Tn≤Sn.就得出Tn≤Sn.的结论，而应该坚信：必存在n，使得2n＞n2＋1，从而使得观察的过程继续下去．
例9． 已知函数f(x)＝x2－3，(x≤－3) (1)求f(x)的反函数f－1(x);
(2)记a1＝1,an＝ －f－1(an－1)(n≥2),请写出a2,a3,a4的值并猜测想an的表达式.再用数学归纳法证明.
解：(1)设y＝f(x)＝ x2－3，(x≤－3 )，由y2＝x2－3(x≤－3)，x＝ －y2＋3
即f－1(x)＝ －x2＋3 (x≥0).
(2)由a1＝1且an＝ －f－1(an－1)(n≥2的整数)，a2＝ －f－1(a1)＝ －( －a12＋3 ＝4 ，
a3＝3＋4＝7 ，a4＝3＋7＝10 .
依不完全归纳可以猜想到：an＝3n－2 (n自然数) 下面用数学归纳法予以证明：
当n＝1时,a1＝3×1－2 ＝1命题成立
假设n＝k(1≤k≤n)时,命题成立：即ak＝3k－2 那么当n＝k＋1时,ak＋1＝－f－1(ak)
＝ak2＋3 ＝(3k－2)＋3 ＝3(k＋1)－2
综上所述,可知对一切自然数n均有an＝3n－2 成立.
例10． 已知数列{an}中，a7＝4，an＋1＝
3an＋4
，． 7－an
（Ⅰ）是否存在自然数m，使得当n≥m时，an＜2；当n＜m时，an＞2？ （Ⅱ）是否存在自然数p，使得当n≥p时，总有
an－1＋an＋1
＜an？ 2
解：（Ⅰ）首先考虑能否化简已知条件an＋1＝
3an＋4
，但事实上这一条路走7－an
不通，于是，我们转而考虑通过计算一些ak的值来寻找规律．不难得到：
a8＝
1644 ，a9＝12，a10＝－8，a11＝－ ，a12＝0，a13＝ ， 337
可以看出：a8，a9均大于2，从a10到a13均小于2，但能否由此断定当n＞13时，也有an＜2？这就引导我们去思考这样一个问题：若an＜2，能否得出an＋1＜2？
为此，我们考查an＋1－2与an－2的关系，易得
an＋1－2＝
3an＋45(an－2)
－2 ＝ ． 7－an7－an
可以看出：当an＜2时，必有an＋1＜2．于是，我们可以确定：当n≥10时，必有an＜2．
为了解决问题（Ⅰ），我们还需验证当n＝1，2，??，9时，是否均有an
＞2．