2(x?3)?12?(x?1)(x?3)?(x?3)23?x ???2(x?3)(x?3)2(x?3)(x?3)2(x?3)说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因
式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．
【巩固练习】
1． 解不等式
x?3?x?2?7
2． 设x?11x2?xy3?2,y?3?2，求代数式?y2x?y的值．
3． 当3a2?ab?2b2?0(a?0,b?0)，求ab?ba2?b2a?ab的值．
4． 设x?5?12，求x4?x2?2x?1的值．
5． 计算(x?y?z)(?x?y?z)(x?y?z)(x?y?z)
6．化简或计算：
(1) (18?4112?2?3)?33
(2) 223?2?(2?5)2?15?2 (3) xx?xyx?xy?yxy?y2?xx?yy
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★ 专题二 因式分解
【要点回顾】
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等． 1．公式法
常用的乘法公式：
[1]平方差公式： ； [2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ． [4](a?b?c)2?[5]a3?b3?[6] a3?b3?
(立方和公式) (立方差公式)
由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行因式分解． 2．分组分解法
从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma?mb?na?nb既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．
常见题型：（1）分组后能提取公因式 （2）分组后能直接运用公式 3．十字相乘法
（1）x2?(p?q)x?pq型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③ 一次项系数是常数项的两个因数之和．
∵x2?(p?q)x?pq?x2?px?qx?pq?x(x?p)?q(x?p)?(x?p)(x?q)， ∴x2?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q)
运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． （2）一般二次三项式ax2?bx?c型的因式分解
由a1a2x2?(a1c2?a2c1)x?c1c2?(a1x?c1)(a2x?c2)我们发现，二次项系数a分解成
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a1a2，常数项c分解成c1c2，把a1,a2,c1,c2a1写成a2c1?c，这里按斜线交叉相乘，再相加，2就得到a1c2?a2c1，如果它正好等于ax2?bx?c的一次项系数b，那么ax2?bx?c就可以分解成(a1x?c1)(a2x?c2)，其中a1,c1位于上一行，a2,c2位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 4．其它因式分解的方法
其他常用的因式分解的方法：（1）配方法 （2）拆、添项法
【例题选讲】
例1 （公式法）分解因式：(1) 3a3b?81b4；(2) a7?ab6
例2 （分组分解法）分解因式：（1）ab(c2?d2)?(a2?b2)cd （2）2x2?4xy?2y2?8z2
例3 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) x2?5x?24 (2) x2?2x?15 (3) x2?xy?6y2 (4) (x2?x)2?8(x2?x)?12 解：（1） ?24?(?3)?8,(?3)?8?5? x2?5x?24?[x?(?3)](x?8)?(x?3)(x?8) （2）
?15?(?5)?3,(?5)?3??2 ? x2?2x?15?[x?(?5)](x?3)?(x?5)(x?3) （3）分析：把x2?xy?6y2看成x的二次三项式，这时常数项是?6y2，一次项系数是y，把?6y2分解成3y与?2y的积，而3y?(?2y)?y，正好是一次项系数．
解：x2?xy?6y2?x2?yx?62?(x?3y)(x?2y)
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(4) 由换元思想，只要把x2?x整体看作一个字母a，可不必写出， 只当作分解二次三项式a2?8a?12
解： (x2?x)2?8(x2?x)?12?(x2?x?6)(x2?x?2)?(x?3)(x?2)(x?2)(x?1) 例4 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) 12x2?5x?2 ； (2) 5x2?6xy?8y2
解：(1) 12x2?5x?2?(3x?2)(4x?1)
223?24 1?
1 2y5?4y (2) 5x?6xy?8y?(x?2y)(5x?4y)
?
说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．
例5 （拆项法）分解因式x3?3x2?4
【巩固练习】
1．把下列各式分解因式：
(1) ab(c2?d2)?cd(a2?b2) (3) x4?64
22．已知a?b?,ab?2，求代数式a2b?2a2b2?ab2的值．
3
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(2) x2?4mx?8mn?4n2
(4) x3?11x2?31x?21 (5) x3?4xy2?2x2y?8y3
1113．现给出三个多项式，x2?x?1，x2?3x?1，x2?x，请你选择其中两个进
222行加法运算，并把结果因式分解.
4．已知a?b?c?0，求证：a3?a2c?b2c?abc?b3?0．
★ 专题三 一元二次方程根与系数的关系
【要点回顾】
1．一元二次方程的根的判断式
一元二次方程a2x?b?x0?c (?，a0)用配方法将其变形
为： ．
由于可以用b2?4ac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把b2?4ac叫做一元二次方程ax2?bx?c?0 (a?0)的根的判别式，表示为：??b2?4ac 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有
[1]当Δ 0时，方程有两个不相等的实数根： ； [2]当Δ 0时，方程有两个相等的实数根： ； [3]当Δ 0时，方程没有实数根． 2．一元二次方程的根与系数的关系
定理：如果一元二次方程ax2?bx?c?0 (a?0)的两个根为x1,x2，那么：
x1?x2?,x1x2?
说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以
通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是??0．
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知
x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即 p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，
所以，方程x2＋px＋q＝0可化为 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有
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