c＝0的根的情况是 4（ ）
（A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根 （C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根 2．填空：
若方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2，且3x1＋2x2＝18，则m＝ ． 3． 已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．
3（1）是否存在实数k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，
2说明理由；
xx（2）求使1?2－2的值为整数的实数k的整数值；
x2x1x（3）若k＝－2，??1，试求?的值．
x2（4）已知a，b，c是ΔABC的三边长，那么方程cx2＋(a＋b)x＋
m2?0． 4．已知关于x的方程x?(m?2)x?4（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；
（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相应的x1，x2． 5．若关于x的方程x2＋x＋a＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a的取值范围．
2.1 一元二次方程
练习
1． （1）C （2）D
2． （1）－3 （2）有两个不相等的实数根 （3）x2＋2x－3＝0 3．k＜4，且k≠0
4．－1 提示：(x1－3)( x2－3)＝x1 x2－3(x1＋x2)＋9
习题2．1 A 组
1． （1）C （2）B 提示：②和④是错的，对于②，由于方程的根的判别式Δ＜0，所以方
2程没有实数根；对于④，其两根之和应为－．
3 （3）C 提示：当a＝0时，方程不是一元二次方程，不合题意．
172． （1）2 （2） （3）6 （3）3 4113．当m＞－，且m≠0时，方程有两个不相等的实数根；当m＝－时，方程有两个相等的实
441数根；当m＜－时，方程没有实数根．
44．设已知方程的两根分别是x1和x2，则所求的方程的两根分别是－x1和－x2，∵x1＋x2＝7，x1x2
＝－1，∴(－x1)＋(－x2)＝－7，(－x1)×(－x2)＝x1x2＝－1，∴所求的方程为y2＋7y－1＝0．
B组
1．C 提示：由于k=1时，方程为x2＋2＝0，没有实数根，所以k＝－1． 2．（1）2006 提示：∵m＋n＝－2005，mn＝－1，∴m2n＋mn2－mn＝mn(m＋n－1)＝－1×(－2005
2 ２６
－1)＝2006．
（2）－3 提示；∵a＋b＝－1，ab＝－1，∴a3＋a2b＋ab2＋b3＝a2(a＋b)＋b2(a＋b)＝(a＋
b)( a2＋b2)＝(a＋b)[( a＋b) 2－2ab]＝(－1)×[(－1)2－2×(－1)]＝－3．
3．（1）∵Δ＝(－k)2－4×1×(－2)＝k2＋8＞0，∴方程一定有两个不相等的实数根． （2）∵x1＋x2＝k，x1x2＝－2，∴2k＞－2，即k＞－1．
x1?x2b3abc?b3b2?4ac33
4．（1）| x1－x2|＝，＝?；（2）x1＋x2＝． 322aa|a|5．∵| x1－x2|＝16?4m?24?m?2，∴m＝3．把m＝3代入方程，Δ＞0，满足题意，∴m＝3．
C组
1．（1）B （2）A
1 （3）C 提示：由Δ≥0，得m≤，∴α＋β＝2(1－m)≥1．
2 （4）B 提示：∵a，b，c是ΔABC的三边长，∴a＋b＞c，∴Δ＝(a＋b)2－c2＞0． 2．（1）12 提示：∵x1＋x2＝8，∴3x1＋2x2＝2(x1＋x2)＋x1＝2×8＋x1＝18，∴x1＝2，∴x2＝6，
∴m＝x1x2＝12．
33．（1）假设存在实数k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－成立．
22
∵一元二次方程4kx－4kx＋k＋1＝0有两个实数根， ∴k≠0，且Δ＝16k2－16k(k+1)=－16k≥0，∴k＜0．
k?1∵x1＋x2＝1，x1x2＝，
4k∴ (2x1－x2)( x1－2 x2)＝2 x12－51x2＋2 x22
39(k?1) ＝2(x1＋x2)2－9 x1x2＝2－＝－，
24k99(k?1)7即＝，解得k＝，与k＜0相矛盾，所以，不存在实数k，使(2x1－x2)( x1
524k3－2 x2)＝－成立．
2x1x2x12?x22(x1?x2)2?2x1x2(x1?x2)2（2）∵?－2＝?2??2??4
x2x1x1x2x1x2x1x24k4k?4(k?1)4?4??? ＝， k?1k?1k?1xx∴要使1?2－2的值为整数，只须k＋1能整除4．而k为整数，
x2x1∴k＋1只能取±1，±2，±4．又∵k＜0，∴k＋1＜1， ∴k＋1只能取－1，－2，－
4，∴k＝－2，－3，－5．
xx∴能使1?2－2的值为整数的实数k的整数值为－2，－3和－5．
x2x11（3）当k＝－2时，x1＋x2＝1，① x1x2＝， ②
81xx ①2÷②，得1?2＋2＝8，即???6，∴?2?6??1?0，
?x2x1 ∴??3?22．
4．（1）Δ＝2(m?1)2?2?0；
２７
m2 （2）∵x1x2＝－≤0，∴x1≤0，x2≥0，或x1≥0，x2≤0．
4 ①若x1≤0，x2≥0，则x2＝－x1＋2，∴x1＋x2＝2，∴m－2＝2，∴m＝4．此时，方程为x2
－2x－4＝0，∴x1?1?5，x2?1?5．
②若x1≥0，x2≤0，则－x2＝x1＋2，∴x1＋x2＝－2，∴m－2＝－2，
∴m＝0．此时，方程为x2＋2＝0，∴x1＝0，x2＝－2．
5．设方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－1，x1x2＝a， 由一根大于1、另一根小于1，得
(x1－1)( x2－1)＜0， 即 x1x2－(x1＋x2)+1＜0， ∴ a－(－1)＋1＜0，∴a＜－2． 此时，Δ＝12－4×(－2) ＞0， ∴实数a的取值范围是a＜－2．
2．2 二次函数
2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质
问题1 函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？
1为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝x2，y＝－2x2的图象，通过这些函数图
222
象与函数y＝x的图象之间的关系，推导出函数y＝ax与y＝x2的图象之间所存在的关系．
先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象． 先列表： x ? －3 －2 －1 0 1 2 3 ? x2 ? 9 4 1 0 1 4 9 ? 2x2 ? 18 8 2 0 2 8 18 从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了． 再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图象（如图2－1
y 2所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y＝2x2y＝x2 y＝2x 的图象可以由函数y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．
1同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝x2，y＝－2x2的图
22
象，并研究这两个函数图象与函数y＝x的图象之间的关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a决定了图x O 象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．
22图2.2-1 问题2 函数y＝a(x＋h)＋k与y＝ax的图象之间存在怎样的关系？
同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它y 22
们之间的关系．同学们可以作出函数y＝2(x＋1)＋1与y＝2x的图象
y＝2(x＋1)2＋1 2
（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y＝2x的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数yy＝2(x＋1)2 ＝2(x＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置y＝2x2 不同”的特点．
类似地，还可以通过画函数y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
－1 ２８ O 图2.2-2
x 二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．
由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法：
bbb2b2222
由于y＝ax＋bx＋c＝a(x＋x)＋c＝a(x＋x＋2)＋c－
aa4a4ab2b2?4ac ?a(x?)?，
2a4a所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：
b4ac?b22
)，对称轴（1）当a＞0时，函数y＝ax＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为(?,2a4abbb为直线x＝－；当x＜?时，y随着x的增大而减小；当x＞?时，y随着x的增大而增
2a2a2ab4ac?b2大；当x＝?时，函数取最小值y＝．
2a4ab4ac?b22
)，对称轴（2）当a＜0时，函数y＝ax＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为(?,2a4abbb为直线x＝－；当x＜?时，y随着x的增大而增大；当x＞?时，y随着x的增大而减
2a2a2ab4ac?b2小；当x＝?时，函数取最大值y＝．
2a4a 上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．
例1 求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．
解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4， ∴函数图象的开口向下； 对称轴是直线x＝－1； 顶点坐标为(－1，4)；
当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；
当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小；
23?323?3,0)和C(?,0)，与采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点B(33y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）．
说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．
２９
例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示： x /元 130 150 165 y/件 70 50 35 若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？
分析：由于每天的利润＝日销售量y×(销售价x－120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．
解：由于y是x的一次函数，于是，设y＝kx＋（B） 将x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入方程，有
?70?130k?b, ??50?150k?b,解得 k＝－1，b＝200． ∴ y＝－x＋200． 设每天的利润为z（元），则
z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000 ＝－(x－160)2＋1600，
∴当x＝160时，z取最大值1600．
答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元． 例3 把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像，求b，c的值．
b2b2解法一：y＝x＋bx＋c＝(x+)?c?，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单
24bb22位，得到y?(x??4)?c??2的图像，也就是函数y＝x2的图像，所以，
24?b??4?0,??2 ? 解得b＝－8，c＝14． 2b?c??2?0,?4?2
解法二：把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像，等价于把二次函数y＝x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y＝x2＋bx＋c的图像．
３０