1.1 数与式的运算
1.１.1．绝对值
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即
?a,a?0,?|a|??0,a?0,
??a,a?0.?绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：a?b表示在数轴上，数a和数b之间的距离． 例1 解不等式：x?1?x?3＞4．
解法一：由x?1?0，得x?1；由x?3?0，得x?3； ①若x?1，不等式可变为?(x?1)?(x?3)?4， 即?2x?4＞4，解得x＜0， 又x＜1， ∴x＜0；
②若1?x?2，不等式可变为(x?1)?(x?3)?4， 即1＞4，
∴不存在满足条件的x；
③若x?3，不等式可变为(x?1)?(x?3)?4， 即2x?4＞4， 解得x＞4． 又x≥3，∴x＞4．
综上所述，原不等式的解为 x＜0，或x＞4． 解法二：如图1．1－1，x?1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．
义即为 所以，不等式x?1?x?3＞4的几何意|PA|＋|PB|＞4．
由|AB|＝2，可知 P C A B D 点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点Px 0 1 3 4 为4)的右侧．
x＜0，或x＞4． |x－1|
图1．1－1 练 习
1．填空：
（1）若x?5，则x=_________；若x??4，则x=_________.
|x－3|
x 在点D(坐标
（2）如果a?b?5，且a??1，则b＝________；若1?c?2，则c＝________.
2．选择题：
下列叙述正确的是 （ ） （A）若a?b，则a?b （B）若a?b，则a?b
（C）若a?b，则a?b （D）若a?b，则a??b 3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．
１１
1.1.2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式 (a?b)(a?b)?a2?b2； （2）完全平方公式 (a?b)2?a2?2ab?b2． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式 (a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3； （2）立方差公式 (a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3；
（3）三数和平方公式 (a?b?c)2?a2?b2?c2?2(ab?bc?ac)； （4）两数和立方公式 (a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3； （5）两数差立方公式 (a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：(x?1)(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1)．
222解法一：原式=(x2?1)??(x?1)?x??
=(x2?1)(x4?x2?1) =x6?1．
解法二：原式=(x?1)(x2?x?1)(x?1)(x2?x?1) =(x3?1)(x3?1) =x6?1．
例2 已知a?b?c?4，ab?bc?ac?4，求a2?b2?c2的值． 解： a2?b2?c2?(a?b?c)2?2(ab?bc?ac)?8． 练 习 1．填空：
1111（1）a2?b2?(b?a)（ ）；
9423（2）(4m? )2?16m2?4m?( )；
（3）(a?2b?c)2?a2?4b2?c2?( )． 2．选择题：
1（1）若x2?mx?k是一个完全平方式，则k等于 （ ）
2111（A）m2 （B）m2 （C）m2 （D）m2
4316（2）不论a，b为何实数，a2?b2?2a?4b?8的值 （ ） （A）总是正数 （B）总是负数
（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数
1.1.3．二次根式 一般地，形如a(a?0)的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 3a?a2?b?2b，a2?b2等是无理式，而2x2?2x?1，x2?2xy?y2，2a2等是有理式． 1．分母（子）有理化
１２
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与2，3a与a，3?6与3?6，23?32与23?32，等等． 一般地，ax与x，ax?by与ax?by，ax?b与
ax?b互为有理化因式．
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式ab?ab(a?0,b?0)；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．
2．二次根式a2的意义
a2?a???a,a?0,
?a,a?0.?例1 将下列式子化为最简二次根式：
（1）12b； （2）a2b(a?0)； （3）4x6y(x?0)． 解： （1）12b?23b；
（2）a2b?ab?ab(a?0)； （3）4x6y?2x3y??2x3y(x?0)．
例2 计算：3?(3?3)．
3?3 ＝
解法一： 3?(3?3)＝3 解法二： 3?(3?3)＝ ＝33?3
3?(3?3)
(3?3)(3?3)33?3 9?33(3?1) ＝
63?1 ＝．
2例3 试比较下列各组数的大小：
＝3
3(3?1)1 ＝
3?1 ＝ ＝
3?1 (3?1)(3?1)3?1
． 2
（1）12?11和11?10； （2）解： （1）∵12?11? 11?10?2和22－6. 6?412?11(12?11)(12?11)1， ??112?1112?1111?10(11?10)(11?10)1， ??111?1011?10又12?11?11?10， ∴12?11＜11?10．
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（2）∵22－6?22－6(22－6)(22+6)21?22+6?22+6, 又 4＞22，
∴6＋4＞6＋22，
∴26?4＜22－6. 例4 化简：(3?2)2004?(3?2)2005． 解：(3?2)2004?(3?2)2005
＝(3?2)2004?(3?2)2004?(3?2) ＝?2004?(3?2)?(3?2)???(3?2)
＝12004?(3?2) ＝3?2．
例 5 化简：（1）9?45； （2）x2?1x2?2(0?x?1)．
解：（1）原式?5?45?4 （2）原式=
(x?1x)2?x?1x，?(5)2?2?2?5?22 ∵0?x?1， ?(2?5)2 ∴1x?1?x， ?2?5?5?2．
所以，原式＝1x?x．
例 6 已知x?3?23?23?2,y?3?2，求3x2?5xy?3y2的值 ． 解： ∵x?y?3?23??3?2?(3?2)223?2?(3?2)2?10， xy?3?23?2?3?23?2?1， ∴3x2?5xy?3y2?3(x?y)2?11xy?3?102?11?289．
练 习
1．填空：
（1）1?31?3＝__ ___；
（2）若(5?x)(x?3)2?(x?3)5?x，则x的取值范围是_ _ ___； （3）424?654?396?2150?__ ___； （4）若x?52，则x?1?x?1x?1?x?1?x?1?x?1x?1?x?1?______ __． 2．选择题： 等式xxx?2?x?2成立的条件是 （ ）（A）x?2 （B）x?0 （C）x?2 （D）0?x?2
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a2?1?1?a23．若b?，求a?b的值．
a?14．比较大小：2－3 5－4（填“＞”，或“＜”）．
1.1.４．分式
1．分式的意义
形如AAA的式子，若B中含有字母，且B?0，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列BBB性质：
AA?B?MB?M； AAB??MB?M． 上述性质被称为分式的基本性质．
2．繁分式 a像bm?n?pc?d，2m这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．
n?p例1 若5x?4x(x?2)?Ax?Bx?2，求常数A,B的值．
解： ∵ABx?x?2?A(x?2)?Bx(A?B)x?2A5x?4x(x?2)?x(x?2)?x(x?2)，
∴??A?B?5,?2A?4,
解得 A?2,B?3．
例2 （1）试证：1n(n?1)?1n?1n?1（其中n是正整数）；
（2）计算：11?2?12?3??19?10； （3）证明：对任意大于1的正整数n， 有
12?3?1113?4??n(n?1)?2． （1）证明：∵1n?1n?1?(n?1)?nn(n?1)?1n(n?1)，
∴1n(n?1)?1n?1n?1（其中n是正整数）成立．
（2）解：由（1）可知
11?2?12?3??19?10 ?(1?11112)?(2?3)??(19?10)
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