例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．
（1）x2－3x＋3＝0； （2）x2－ax－1＝0； （3） x2－ax＋(a－1)＝0； （4）x2－2x＋a＝0． 解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根． （2）该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根
a?a2?4a?a2?4， x2?． x1?22（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2，
所以，
①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1；
②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根 x1＝1，x2＝a－1．
（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)， 所以
①当Δ＞0，即4(1－a) ＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根 x1?1?1?a， x2?1?1?a；
②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1；
③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根．
说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．
2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
若一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根
2
?b?b2?4ac?b?b2?4ac x1?，x2?，
2a2a则有
?b?b2?4ac?b?b2?4ac?2bb x1?x2?????；
2a2a2aa?b?b2?4ac?b?b2?4acb2?(b2?4ac)4acc x1x2????2?．
2a2a4a24aa 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
bc 如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝?，x1·x2＝．这一关
aa系也被称为韦达定理．
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知
x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，
２１
即 p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，
所以，方程x2＋px＋q＝0可化为 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有 以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0． 例2 已知方程5x?kx?6?0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．
解法一：∵2是方程的一个根，
∴5×22＋k×2－6＝0， ∴k＝－7．
3所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－．
53所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．
563解法二：设方程的另一个根为x1，则 2x1＝－，∴x1＝－．
553k由 （－）＋2＝－，得 k＝－7．
553所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．
5例3 已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．
分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．
解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4． ∵x12＋x22－x1·x2＝21， ∴(x1＋x2)2－3 x1·x2＝21，
即 [－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21， 化简，得 m2－16m－17＝0， 解得 m＝－1，或m＝17．
当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；
当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去． 综上，m＝17． 说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．
（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．
例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．
解法一：设这两个数分别是x，y， 则 x＋y＝4， ①
xy＝－12． ②
２２
2由①，得 y＝4－x， 代入②，得
x(4－x)＝－12，
即 x2－4x－12＝0， ∴x1＝－2，x2＝6．
?x1??2,?x2?6, ∴? 或?
y?6,y??2.?1?2因此，这两个数是－2和6．
解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x2－4x－12＝0 的两个根．
解这个方程，得
x1＝－2，x2＝6． 所以，这两个数是－2和6．
说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．
例5 若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根． （1）求| x1－x2|的值；
11（2）求2?2的值；
x1x2（3）x13＋x23．
解：∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根，
53 ∴x1?x2??，x1x2??．
2253 （1）∵| x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋x2)2－4 x1x2＝(?)2?4?(?)
2225497 ＝＋6＝， ∴| x1－x2|＝．
4245325(?)2?2?(?)?3222x1?x2(x1?x2)?2x1x2113722?4 （2）2?2?22?． ??239x1x2x1?x2(x1x2)9(?)2243322 2
（3）x1＋x2＝(x1＋x2)( x1－x1x2＋x2)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2)－3x1x2]
553215 ＝(－)×[(－)2－3×(?)]＝－．
2228 说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：
设x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则
?b?b2?4ac?b?b2?4ac，x2?， x1?2a2a?b?b2?4ac?b?b2?4ac2b2?4ac??∴| x1－x2|＝
2a2a2ab2?4ac? ?． ?|a||a|于是有下面的结论：
２３
若x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则| x1－x2|＝
?（其中Δ＝b2－|a|4ac）．
今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．
例6 若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．
解：设x1，x2是方程的两根，则
x1x2＝a－4＜0， ① 且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0． ② 由①得 a＜4，
17
由②得 a＜ ．
4
∴a的取值范围是a＜4．
练 习 1．选择题：
（1）方程x2?23kx?3k2?0的根的情况是 （ ） （A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根
（2）若关于x的方程mx2＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围
是 （ ）
11 （A）m＜ （B）m＞－
4411 （C）m＜，且m≠0 （D）m＞－，且m≠0
442．填空:
11（1）若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，则?＝ ．
x1x2（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是 ． （3）以－3和1为根的一元二次方程是 ． 3．已知a2?8a?16?|b?1|?0，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？ 4．已知方程x2－3x－1＝0的两根为x1和x2，求(x1－3)( x2－3)的值．
习题2.1 A 组
1．选择题:
（1）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ） （A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2 （2）下列四个说法：
①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7； ②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；
7③方程3 x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为?；
3
２４
④方程3 x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．
其中正确说法的个数是 （ ） （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
（3）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（ ）
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1
2．填空:
（1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝ ．
（2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．
（3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．
（4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则| x1－x2|＝ ．
3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的实数
根？有两个相等的实数根？没有实数根？
4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数．
B 组
1．选择题:
若关于x的方程x2＋(k2－1) x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为
（ ）
（A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）0 2．填空:
（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于 ．
23223
（2）如果a，b是方程x＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a＋ab＋ab＋b的值
是 ．
3．已知关于x的方程x2－kx－2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求实数k的取值范围． 4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1和x2．求：
x?x（1）| x1－x2|和12；
233
（2）x1＋x2．
5．关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足| x1－x2|＝2，求实数m的值．
C 组
1．选择题：
（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三
角形的斜边长等于 （ ） （A）3 （B）3 （C）6 （D）9
xx（2）若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则1?2的值为 （ ）
x2x13 （A）6 （B）4 （C）3 （D）
222
（3）如果关于x的方程x－2(1－m)x＋m＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为
（ ） 11 （A）α＋β≥ （B）α＋β≤ （C）α＋β≥1 （D）α＋β≤1
22
２５