三、证明题（每题10分，共20分）
?xy2,x2?y2?0,?21、 试证：函数f(x,y)??x?y2在原点(0,0)连续且偏导数存在，但
?0, x2?y2?0,? 在原点不可微，并且fx(x,y)和fy(x,y)在原点不连续。
2、 试证x2?y2?z2?3和x?y?z?1的交线在点P0(1,?1,1)的邻域内能用一对
方程y?f(x)和z?g(x)表示，并求
dydz和，以及交线在点P0的法平面方程。 dxdx数学分析3期末考试题
一.选择题（每题4分，共16分）
1.如果是偶函数且可导，则 （ ） A. f?(0)?0 B. f(0)?0 C.f?(0)?1 D.f(0)?1 2.下列广义积分收敛的是 （ ） A.
???0??cos4xxdxdx1?x2 B. ???1?x2
C.
???1??11dx,(p?1)dx,(p?1)?2x(lnx)ppx D.
3.下列说法错误的是 （ ） A.设E?R为任一有界无穷点集，则E在R中至少有一个聚点.
2??P?RB.设k为一个有界点列，则它必存在收敛子列.
22
C.E?R为有界闭集,则E的任一无穷子集必有聚点. D.E?R为有界闭集，则E不一定为一列紧集. 4.下
）
列
说
法
正
确
的
是（
22A.若级数?un是发散的，则c?un也是发散的. B.若级数?un是收敛的，?vn是发散的，则?un?敛的.
C.若级数?un和?vn是发散的，则?un??vn可以是收
?vn可以是收敛的.
D. 若级数?un和?vn是发散的，则?unvn也是发散的. 二.填空题（每空3分，共15分）
(x?1)n1．级数?n的收敛半径为 ，收敛区间
2n为 .
y2．若z?arctan在(1,1)处可微，则zx(1,1)? ，
xzy(1,1)? . 3. 函数z?ysin(x?y)的全微分为 . 三.计算题（共40分）
1．计算下列定积分（每题4分，共8分）
e11?x22dx（1）? （2）(lnx)dx 1?ex01?x21
2．求级数?
???,???x?0,??43．把函数f(x)????,0?x??,??41的和函数（8分）
n?1n(n?1)(n?2)?展成傅立叶级数.(8分)
4.求极限
5．求曲面3x2?y2?z2?27在点(3,1,1)处的切平面方程和法线方程.(8分)
(x，y)?(0,0)lim(x?y)sin1.（8分） 22x?y
四.讨论题和证明题（共29分）
xn1．设fn(x)?x?,讨论函数列?fn?与?fn??在x?[0,1]的一致收敛性.（9分）
n
2.设f在[?a,a]上可积，证明：（5分） （1）若f为奇函数，则?f(x)dx?0
?aa（2）若f为偶函数，则?f(x)dx?2?f(x)dx
?a0aa
3.证明不等式1??exdx?e.（5分）
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