第五讲 还原问题
小热身
快速抢答
(1)一个数加上5变为7，原数为 。 (2)一个数减去10变为90，原数为 。 (3)一个数乘5变为30，原数为 。 (4)一个数除以9变为5，原数为 。 (5)一个数增加了2倍后变为15，原数为 。
知识精讲 小故事
萱萱把一个包装精美的盒子打开。她先拆开最外层的彩纸；接着打开纸盒，纸盒里有一个绒布盒，再打开绒布盒一看，里面是两支笔。妈妈说，这礼物是送给爸爸的，要萱萱把它重新包装起来。萱萱是按这样的顺序做的:先把两支笔放入绒布盒→盖上绒布盒，并把它放进纸盒→盖上纸盒，并用彩纸封好。萱萱重新包装的步聚(顺序)恰好与她打开这盒礼物的顺序相反。这是生活中常会遇到的“还原问题”。
在数学中，还原问题也很多。比如计算一个数加3，同学们很快可以算出最后的结果.但如果知道最后的结果等于8，反过来要求原来的数呢?大家自然想到利用加法的逆运算——减法，我们利用8-3，就可以算出原数等于5，像这样把结果还原成开始的数量的问题叫做还原问题。
本讲中我们就将遇到这样一类应用题:开始时的状态不知道，只知道中间的过程以及结束时的状态，这时我们需要从最后结果出发，利用已知条件一步一步倒推，逐步接近最开始的状态，直至解决问题。这种思考问题的方法叫做倒推法(还原法)。
我们在倒推求解问题时，常常通过逆运算来还原:加法用减法还原，减法用加法还原，乘法用除法还原，除法用乘法还原，原即原来是加(减)几，还原时要变成减(加)几；原来是乘(除以)几，还原时要变成除以(乘)几。
例题1：一个数加上6，乘6，减去6，除以6，最后结果还是6，问这个
数是几?
练习1：一个数加上8，乘10，最后结果是120，问这个数是几？
例题2：有一个数，把它加上24，再乘4，减去20，得到的结果用15去
除，商是5，余数是5。这个数是多少?
练习2：将一个自然数减去18，然后乘4，再除以7，得到的商是23,余
数是3，请问这个自然数是多少?
例题3：果园里有一棵桃树。有一天，两只猴子来偷吃桃子。第一只猴子
吃了1个桃子并摘下了剩桃子的一半，然后第二只猴子吃了2个桃子并摘下了剩下桃子的一半。这时树上刚好还有11个桃子，请问原来树上一共有几个桃子?
练习3：田里种着一些玉米。一天晚上，田鼠-家来偷玉米。田鼠爸爸偷
走了所有玉米的一半还多一个，田鼠妈好偷走了剩下玉米的一半多一个，这时玉米还有13个。请问原来田地里共有多少个玉米?
小故事
李白买酒
朱世杰是我国宋元时期杰出的数学家，他的《四元玉鉴》中，有许多精辟的数学创作，流传极广的数学名题“李白买酒”，就出现在《四元玉鉴》中。题目是这样的:
无事街上走，提壶去买酒， 遇店加一倍，见花喝八斗， 三遇店和花，喝光壶中酒。
诗的意思是说，李白一日闲来无事，在街市上游走，忽然闻到不远处香气扑鼻，单凭嗅觉他就断定那必是清香爽口、绵柔顺和的醇酒，便忍不住要前去打酒，他的壶中本来就有酒，每次遇到有卖如此醇酒的小店时再打的酒都与壶中的酒一样多，壶中酒便也因此增加一倍;每次看到花，他就不禁饮酒作诗，喝上八斗，这样边打边饮，三次之后，壶中的酒就全部被喝光了。
这是一道典型的还原问题，聪明的同学们，你知道李白的酒壶中原来有多少酒吗?
当题目中有两个或两个以上的量在变化时，只是画出示意图有时不能把中间步骤表示清楚，这时我们可以采用多排倒推图的方法依次记录每个变化过程。
例题4：地上有26块砖，兄弟二人争着去挑。弟弟抢在前面，刚挑起一
些砖，哥哥赶到了，挑了剩下的砖。哥哥看弟弟挑得太多，就从弟弟那儿抢过一半.弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半。这时哥哥挑了9块，弟弟挑了17块，请问:最初弟弟准备挑多少块砖?
练习4：王刚和李强手中各有若干枚硬币。开始时李强给王刚一些硬币，
让王刚手中的硬币数量增加一倍;然后，王刚给李强一些硬币，让李强手中的硬币数量增加一倍，这样交换后，每人手中各有20枚硬币。请问原来王刚有多少枚硬币?
选做题
甲、乙各有一些糖，一共48块，每次甲给乙一些糖，使得乙的糖数增加一倍。经过四次这样的操作以后，甲的糖数是乙的2倍。原来甲有多少块糖？
课堂内外
李白
李白一生不以功名显露，却高自期许，不畏权力，貌视权贵，曾流传着“力上脱靴”“贵妃捧砚”“御手调羹”“龙巾拭吐”的故事。他肆无总惮地嘲笑以政治权力为中心的等级秩序，批判当时腐败的政治现象，以大胆反抗的姿态，推进了盛唐文化中的英雄主义精神。李白反权贵的思想意识，是随着他的生活实践的丰富而日益成熟起来的。在早期，主要表现为“不屈已、不干人”“平交王候”的平等要求，正如他在诗中所说:“昔在长安醉花柳，五侯七贵同杯酒、气岸遥凌豪士前，风流肯落他人后!”(《流夜郎赠辛判官》)“揄扬九重万乘主，谑浪赤墀青琐贤.”(《玉壶吟》)他有时也发出轻蔑权贵的豪语，如“黄金白璧买歌笑，一醉累月轻王侯”(《忆旧游寄谯郡元参军》)等，但主要还是表现内心中的高傲，而随着对高层权力集团实际情况的了解，他进一步揭示了百姓基层和权贵的对立:“珠玉买歌笑，糟糠养贤才.（《古风》第十五)“梧桐巢燕省，棋棘栖鸳鸾。”(《古风》第三十九)并对因谄事帝王而窃据权位者的丑态极尽嘲讽之能事，如:“大车扬飞尘，亭午暗阡陌。中贵多黄金，