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由AB?VA?0,得AB?VA，又AB?AD，因而AB与平面VAD内两条相交直线VA，
AD都垂直. ∴AB?平面VAD.
（Ⅱ）解：设E为DV中点，则E(,0,143)， 4333313EA?(,0,?),EB?(,1,?),DV?(,0,).
444422由EB?DV?0,得EB?DV,又EA?DV. 因此，?AEB是所求二面角的平面角，
cos(EA,EB)?EA?EB|EA|?|EB|?21, 7解得所求二面角的大小为arccos21.
73．如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形， 侧棱PA?底面ABCD，AB?3，BC?1，PA?2， VDABC E为PD的中点.
（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE?面PAC，
并求出点N到AB和AP的距离.
解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，
则A,B,C,D,P,E的坐标为A(0,0,0)、
B(3,0,0)、C(3,1,0)、D(0,1,0)、
1P(0,0,2)、E(0,,1)，
2从而AC?(3,1,0),PB?(3,0,?2). 设AC与PB的夹角为?，则
cos??AC?PB|AC|?|PB|?327?37, 14∴AC与PB所成角的余弦值为
37. 14) （Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x,0z,，则
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1NE?(?x,,1?z)，由NE?面PAC可得，
2??NE?AP?0,???NE?AC?0.?1?3z?1?0,(?x,,1?z)?(0,0,2)?0,?x?????2 ∴?6 即?化简得?1?3x??0.?z?1?(?x,1,1?z)?(3,1,0)?0.?2???2?33. ,0,1)，从而N点到AB和AP的距离分别为1,66即N点的坐标为(4．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中
AB?4,BC?2,CC1?3,BE?1.
（Ⅰ）求BF的长；
（Ⅱ）求点C到平面AEC的距离. 1F
解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,4,0)
A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3)设F(0,0,z).
∵AEC1F为平行四边形，
?由AEC1F为平行四边形,?由AF?EC1得,(?2,0,z)?(?2,0,2),?z?2.?F(0,0,2).?EF?(?2,?4,2).于是|BF|?26,即BF的长为26.（II）设n1为平面AEC1F的法向量，
显然n1不垂直于平面ADF,故可设n1?(x,y,1) ??n1?AE?0,?0?x?4?y?1?0由?得?
?2?x?0?y?2?0??n1?AF?0,?第 17 页 共 35 页 金太阳新课标资源网
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?x?1,?4y?1?0,?即???1 ??2x?2?0,?y??.4?又CC1?(0,0,3),设CC1与n1的夹角为?，则 cos??CC1?n1|CC1|?|n1|?33?1?1?116?433. 33∴C到平面AEC1F的距离为
d?|CC1|cos??3?433433?. 33115．如图，在长方体ABCD?A,AB?2，点E在棱AD上移1BC11D1，中，AD?AA1?1动.（1）证明：D1E?A1D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离； （3）AE等于何值时，二面角D1?EC?D的大小为
?. 4
解：以D为坐标原点，直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设
AE?x，则A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0)
（1）因为DA,0,1),(1,x,?1)?0,所以DA1?D1E. 1,D1E?(1（2）因为E为AB的中点，则E(1,1,0)，从而D1E?(1,1,?1),AC?(?1,2,0)，
??n?AC?0, AD1?(?1,0,1)，设平面ACD1的法向量为n?(a,b,c)，则???n?AD1?0,也即???a?2b?0?a?2b，得?，从而n?(2,1,2)，所以点E到平面ACD1的距离为
??a?c?0?a?c第 18 页 共 35 页 金太阳新课标资源网
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h?|D1E?n||n|?2?1?21?. 33（3）设平面D1EC的法向量n?(a,b,c)，∴CE?(1,x?2,0),D1C?(0,2,?1),DD1?(0,0,1),
??n?D1C?0,?2b?c?0由? 令b?1,?c?2,a?2?，x ??a?b(x?2)?0.???n?CE?0,∴n?(2?x,1,2). 依题意cos?4?|n?DD1||n|?|DD1|?222??.
222(x?2)?5∴x1?2?3（不合，舍去），x2?2?3 . ∴AE?2?3时，二面角D1?EC?D的大小为
?. 46．如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C,C1的一点，EA?EB1，已知AB?2,BB1?2,BC?1,?BCC1??3，求：
（Ⅰ）异面直线AB与EB1的距离；
（Ⅱ）二面角A?EB1?A1的平面角的正切值.
解：（I）以B为原点，BB1、BA分别为y,z轴建立空间直角坐标系.
由于，AB?2,BB1?2,BC?1,?BCC1??3
在三棱柱ABC?A1B1C1中有
B(0,0,0),A(0,0,2),B1(0,2,0),C(3133,?,0),C1(,,0) 2222
设E(3,a,0),由EA?EB1,得EA?EB1?0,即 233,?a,2)?(?,2?a,0) 22
0?(??33?a(a?2)?a2?2a?, 44第 19 页 共 35 页 金太阳新课标资源网
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131331得(a?)(a?)?0,即a?或a?(舍去),故E(,,0)222222
313333BE?EB1?(,,0)?(???0)????0,即BE?EB1.222244又AB?侧面BB1C1C，故AB?BE. 因此BE是异面直线AB,EB1的公垂线， 则|BE|?31??1，故异面直线AB,EB1的距离为1. 44（II）由已知有EA?EB1,B1A1?EB1,故二面角A?EB1?A1的平面角?的大小为向量B1A1与EA的夹角.
因B1A1?BA?(0,0,2),EA?(?故cos??即tan??EA?B1A1|EA||B1A1|2.2?23,31,?,2),22
7．如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，PD?底面ABCD，E是AB上
一点，PF?EC. 已知PD?2,CD?2,AE?1, 2求（Ⅰ）异面直线PD与EC的距离；
?D （Ⅱ）二面角E?PC的大小.
解：（Ⅰ）以D为原点，DA、DC、DP分别为
x,y,z轴建立空间直角坐标系.
由已知可得D(0,0,0),P(0,0,2),C(0,2,0) 设A(x,0,0)(x?0),则B(x,2,0),
113E(x,,0),PE?(x,,?2),CE?(x,?,0). 由PE?CE得PE?CE?0，
222即x?2313333?0,故x?. 由DE?CE?(,,0)?(,?,0)?0得DE?CE，
222242又PD?DE，故DE是异面直线PD与CE的公垂线，易得|DE|?1，故异面直线
PD,CE的距离为1.
（Ⅱ）作DG?PC，可设G(0,y,z).由DG?PC?0得(0,y,z)?(0,2,?2)?0
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