泰勒公式的应用
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1.1 泰勒公式的引入
泰勒公式
在初等函数中，最简单的函数就是多项式，这类函数对于数值计算和理论分析都很方便.如果将一类复杂的函数用多项式来近似表示出来，其误差又能满足一定的要求，那么就可以用多项式表示出此函数.若函数p(x)是n次多项式
p(x)?a0?a1x?a2x2???anxn
将它改写为
p(x)?b0?b1(x?a)???bn(x?a)n
则
p(k)(a) bk?，k?0，1，2，?，n
k!p(0)(a)?p(a)
于是
p?(a)p??(a)p(n)(a)2(x?a)?(x?a)???(x?a)n p(x)?p(a)?1!2!n!对任意一个函数f (x)，只要函数f (x)在a点存在n阶导数，就可以写出一个相应的多项式
f?(a)f??(a)f(n)(a)2Tn(x)?f(a)?(x?a)?(x?a)???(x?a)n
1!2!n!Tn(x)称为函数f (x)在a点的n次泰勒多项式，那么n次泰勒多项式Tn(x)与函数f (x)在a点的邻域上有何种联系呢？下面的定理回答了这个问题.
定理1 若函数f (x)在a点存在n阶导数f(n)(a)，则
f?(a)f??(a)f(n)(a)2f(x)?f(a)?(x?a)?(x?a)???(x?a)n?Rn(x)（1-1）
1!2!n!其中
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榆林学院本科毕业论文
Rn(x)?0((x?a)n) (x?a)
则（1-1）式称为f (x)在a点的泰勒公式，其中Rn(x)为泰勒公式的余项.
综上，得出泰勒公式的一般形式是
f??(x0)f(n)(x0)2f (x)=f (x0)+f?(x0)(x-x0)+ (x?x0)+?+(x?x0)n+Rn(x)（1-2）
2!n!其中Rn(x)为泰勒公式的余项，有以下两种类型:
(i)
f(n?1)(?)拉格朗日余项 (x?x0)n?1（x0
(n?1)!(ii) 佩亚诺余项 0((x?x0)n)
根据所带余项类型的不同，可以将泰勒公式分为以下两种类型： (a) 带有佩亚诺余项的泰勒公式
函数f (x)在[a,b]上具有n阶导数，则对任意x?[a,b],有
f(2)(a)f(n)(a)2 f(x)=f(a)?f?(a)(x?a)+(x?a)n?0((x?a)n) ?x?a?+?+
2!n!即 limRn(x)n，?0R(x)?0((x?a)). nx?x0(x?x)n0(b) 带有拉格朗日余项的泰勒公式
函数f (x)在含有x0的某个开区间（a,b）内具有直到n?1阶导数，则对任意
x?(a,b)，有
f(n)(x0) f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)??+(x?x0)n?Rn(x) （1-3）
n!f(n?1)(x0??(x?x0)))其中 Rn(x)?(x?x0)n?1 (0???1
n!f(n?1)(x0??(x?x0))形如 Rn(x)?(x?x0)n?1的余项称为拉格朗日型余项.
n!在式（1-3）中，令 x0=0，得到f(x)在x?0点的泰勒公式
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泰勒公式的应用
f(n)(x)f(x)?f(0)?f?(x)(x)??+(x)n?Rn(x)
n!上式称为麦克劳林公式.
1.2 常见函数的泰勒展开式
根据函数f(x)在任一点x0点的泰勒公式
f?(x0)f??(x0)f(n)(x0)2f(x)?f(x0)?(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n??
1!2!n!可得到几个常见函数在任一点x0点处的泰勒公式，如下：
ex0ex0ex02e?e?(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n??；
1!2!n!xx0sinx?sinx0?cosx0?sinx0(x?x0)?(x?x0)2???1!2!n!k?cos(x?)?sinx02(x?x)n??； cosx?cosx0?(x?x0)???01!n!(1?x)?(1?x0)???sin(x0?k?)2(x?x)n??；
0?(1?x0)??11!(x?x0)??(??1)(1?x0)??22!(x?x0)2?
???(??1)(??2)?(??n?1)(1?x0)??nn!(x?x0)n??；
2(1?x0)?1?(1?x0)?2ln(1?x)?ln(1?x0)?(x?x0)?(x?x0)?1!2!
??(?1)n?1(n?1)!(1?x0)?n(x?x0)n??；
n!(1?x0)?211??(x?x0)?(1?x0)?3(x?x0)2???(1?x0)?n?1(x?x0)n??； 1?x1?x01!令x0?0，就得到了上述函数在0点处的泰勒公式，也就是上述的麦克劳林公式.
x2xne?1?x???+??；
n!2!xx3x5x2n?1n?1sinx?x????+(?1)??；
3!5!(2n?1)!4
榆林学院本科毕业论文
2nx2x4nxcosx?1????+(?1)??； 2!4!(2n)!(1?x)??1??x??(??1)2!x2+
?(??1)(??2)3!x3+?；
nx2x3n?1xln(1?x)?x????+(?1)??； 23n11?x?1?x?x2??+xn+?. 5
泰勒公式的应用
2 泰勒公式的应用
2.1 证明不等式与等式
利用泰勒公式证明不等式或等式，主要有下面两步：
(i) 构造一个函数f(x)，选一个展开点x0，然后写出f(x)在x0处的带有拉格朗日余项的泰勒公式，接下来需要选择在哪一点处把函数展开为泰勒公式.
函数在一个区间的性质常常可由该区间中的一些特殊点来反映，如：端点、分点（中点，三等分点，四等分点等）、零点、驻点、极值点和最值点，拐点.此外，区间中的任意点也是分析函数性质不可或缺的点.
运用泰勒公式时，就是将以上这些点中导数信息相对较充分的点选作展开中心.如果函数在区间中的任意点处的导数信息较为充分，那么这个任意点也可作为展开中心.
(ii) 根据所给的最高阶导数的大小，函数的界或三角形不等式等对??(a,b)进行放缩.如设函数y?f(x)在x0点附近二阶可导，由泰勒公式得出以下结论 （a）若f??(x)?0，则有f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)；
（b）若f??(x)?0，则有f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)，等号在x?x0时成立. 当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物，不妨作一个辅助函数并用泰勒公式替代，往往可使证明方便简捷一些.
例1 设x?(0,1),试证明(1?x)ln2(1?x)?x2. 证明 设辅助函数
f(x)?(1?x)ln2(1?x)?x2?f(0)?0
f?(x)?ln2(1?x)?2ln(1?x)?2x?f?(0)?0
f??(x)?2[ln(1?x)?x]?f??(0)?0 1?xf???(x)??2ln(1?x)?0 x?(0,1)
(1?x)26