榆林学院本科毕业论文
则f(x)?0的二阶泰勒公式（带有拉格朗日余项）为 f(x)?f(0)?f?(0)x?即 f(x)?0 0?x?1.
如果函数f(x)的二阶及二阶以上导数存在且有界，利用泰勒公式来证明这类不等式的一般思路是：
（A）写出比最高阶导数低一阶的泰勒展式； （B）恰当选择等式两边的x与x0；
（C）根据最高阶导数的大小对展开式进行放缩.
例2 设f(x)在[a,b]上有二阶导数，且f?(a)?f?(b)?0,试证：在(a,b)内至少存在一点?,使f??(?)?f??(0)2f???(?)3f???(?)3x?x?x?0
2!3!3!4f(b)?f(a)(b?a)2.
证明 由于f(x)在[a,b]上具有二阶导数，故f(x)在x0处一阶泰勒公式成立
f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?f??(?) (x?x0)2 （2-1）
2!其中?在x与x0之间,x0?[a,b] 在（2-1）中,令 x0=a，x?a?b，则 22a?ba?b1a?b f?f(a)?f?(a)?a?f??(?1)?a
222!2又 f?(a)?0 故
a?ba?b1b?a a??1? （2-2） f?f(a)?f??(?1)222!22在（2-2）中,令
x0?b，x?又 f?(b)?0 故
a?b 27
泰勒公式的应用
2a?ba?b1b?a??2?b （2-3） f?f(a)?f??(?2)222!2（2-3）减（2-1）,并取绝对值，得
f(b)?f(a)?1(b?a)2(f??(?2)?f??(?1)) 8取
f??(?)?max{f??(?1),f??(?2)} a???b
则
f??(?)?4f(b)?f(a)(b?a)2.
例3 设f(x)，g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)具有二阶导数，且存在相等的最大值f(a)?g(a)，f(b)?g(b)，证明：存在??(a,b),使得f??(?)?g??(?).
分析 本题考查的知识点是连续函数介值定理与罗尔定理的应用，在参考答案中运用了两次罗尔定理来证明，此题也可用泰勒公式证明.
令?(x)?f(x)?g(x)，就成为证明存在?1,?2?(a,b),使得???(?1)与???(?2)异号，从而证明存在??(a,b),使得???(?)?0.
证明 令?(x)?f(x)?g(x)，由已知条件，可得
?(a)?0，?(b)?0
设 x1?(a,b),x2?(a,b) 设 x1?x2 使得
f(x1)?maxf(x)?g(x2)?maxg(x)
[a,b][a,b]那么
?(x1)?f(x1)?g(x1)?0；?(x2)?f(x2)?g(x2)?0 根据连续函数介值定理，存在x0?(a,b)，使得?(x0)?0. 将?(x)在点x0处展开为泰勒公式，则
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1???(?1)(a?x0)2?0 ?1?(a,x0) 21?(b)??(x0)???(x0)(b?x0)????(?2)(b?x0)2?0 ?2?(x0,b)
2?(a)??(x0)???(x0)(a?x0)?注意到?(x0)，由以上两式可得
???(?1)(x0?a)????(?2)(x0?b)
因
x0?a?0，x0?b?0 故
???(?1)与???(?2)异号 设
???(?1)?0，???(?2)?0 则存在x3,x4?(?1,?2),使得
??(x3)???(?1)，??(x4)???(?2)
说明??(x)在[?1,?2]上必取得最大值，从而存在
??[?1,?2]?(a,b)
使得 ???(?)?0.
2.2 求解极限
目前为止，在求解极限问题中，除个别函数极限如limsinx?1用特殊方法外，
x?0x很大一类函数极限是利用初等函数的性质（连续性，极限性质）及极限运算法则求出的.例如,lim(x?5)arctanx4?3?，这类极限都是可以直接确定的. ?x?1exe2e26?此外，还有一些“不定型”，即以下几种形式：“0/0”、“?/?”、“ ??0”、“???”、“ ??0”、“ 0??”，“ 1??”.其中“0/0”、“?/?”是基本的两类，其它类型可化为这两类.
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泰勒公式的应用
确定待定型的极限，有两种基本方法 (i)用洛比达法则；
(ii)将原式中某些（较复杂的）函数换作它的泰勒展式（带佩亚诺余项），经过化简后求极限.
现在来举例说明利用泰勒公式求上述不定型的极限的技巧，以体现数学以简驭繁的精神.
tanxarctanx?x2例4 求极限lim.
x?0x6解 由lim(tanxarctanx?x2)?limx6?0知这是0/0型，若用洛比达法则求极
x?0x?0限，计算会非常繁琐，现利用泰勒公式展开求其极限.
x325x3x5662[x??x?0(x)][x???0(x)]?x2tanxarctanx?x31535lim? lim66x?0x?0xx26x?0(x6)2. ?lim9?6x?0x9在计算过程中应注意，无穷小的计算和泰勒展开式的项数，本题极限分子中的tanx，arctanx只要展开到x5就够了，因为分母是x6，这就要求分子的裴亚诺余项是比x6的无穷小.
由上述例子能够发现,可以根据泰勒公式将原来较复杂的函数极限问题转化为类似多项式或有理分式的极限问题，因此，满足下列情况时可以考虑用泰勒公式来求极限:
(a)用洛比达法则时，次数较多，且求导及化简过程较繁琐.
(b)分子或分母中有无穷小的差，且此差不易转化为等价无穷小替代形式.
(c)所遇到的函数容易展开为泰勒公式.
当确定了要用泰勒公式求极限时，关键是确定展开的阶数.如果分母（或分子）是n阶，就将分子或分母展开为n阶麦克劳林公式.如果分子分母都需要展开，可分别展开到其同阶无穷小的阶数，即合并后的首个非零项的幂次的次数.
例5 计算limtan(tanx)?sin(sinx).
x?0tanx?sinx10
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解 此题是0/0型，但用洛比达法则很难求出.不难验证出分子的两项
tan(tanx)和sin(sinx)都在0(0,?)内三阶可微，因为
sinx?x?131x?0(x3)，tanx?x?x3?0(x3) 3!3!tanx?sinx?1131?x?0(x3)?x3?0(x3) 3!3!3从而可见分母tanx?sinx是3的三阶无穷小，故写出的分子上各函数三阶泰勒展开式关于x3较高阶无穷小可省略去,又
x3x31311333?0(x)?x??0(x3) sin(sinx)?sinx?x?0(x)?x?x?x?3!3!3!33!3x32x33tan(tanx)?tanx??0(x)?x??0(x3)
3!3故
tan(tanx)?sin(sinx)?x3?0(x3) 所以，原式结果为3.
2.3 计算有理函数的不定积分
泰勒公式对?Pn(x)dx（其中Pn(x)是关于x的n次多项式）类型的有理函数m(x?x0)不定积分的计算很简便，此时将Pn(x)展成在x0点的泰勒公式级数共有n?1项.
?(x0)??(x0)pnpnpn(n)(x0)2(x?x0)? pn(x)?pn(x0)?(x?x0)??+(x?x0)n 1!2!n!则
?(x0)??(x0)pn(x)pn(x0)pnpnpn(n)(x0)?????+ mmm?1m?2m?n(x?x0)(x?x0)(x?x0)2!(x?x0)n!(x?x0)此时，等式右端的每一项积分都很容易求得.
6x4?5x3?4x2?1例6 计算?dx.
(x?2)411