泰勒公式的应用
（b）把这个行列式函数按泰勒公式在某点处展开； （c）求出行列式函数的各阶导数值.
abb?bc例12 求n阶行列式的值：Dn?c?cab?bca?b. ?c??c?a解 把行列式Dn看做x的函数，即
xbb?bcDn(x)?c?cxb?bcx?b ???cc?x则 Dn?Dn(a)
将Dn(x)在x?b处按泰勒公式展开为
?(x)??(x)DnDnD(n)n(b)2Dn(x)?Dn(b)?(x?b)?(x?b)???(x?b)n
1!2!n!bbb?bcbb?b这里 Dn?ccb?b?b(b?c)n?1
????ccc?b以下求行列式函数Dn(x)的各阶导数（根据行列式求导法则），有
100?0xbb?bxbb?cxb?b010?0cxb??(x)? Dn???????????????ccc?xccc?x000? ?nDn?1(x)
bb ?1类似地，有
??(x)?Dn??1(x)，?，D(n)n(x)?D(n?1)n?1(x) Dn由递推关系还可推出
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榆林学院本科毕业论文
??1(x)?(n?1)Dn?2(x)，?，D2?(x)?2D1(x)，D1(x)?1(因Dn(x)?x) Dn则有
?(b)?nDn?1b Dn(?)nbb(?cn?2)
??(b)?nDn??1(b)?n(n?1)Dn?2(b)?n(n?1)b(b?c)n?3 Dn???(b)?nDn???1(b)?n(n?1)Dn??2(b)?n(n?2)Dn?3(b) Dn?n(n?1)(n?2)b(b?c)n?4，?
D(n?1)n(b)?n(n?1)?2D1(b)?n(n?1)?2b，D(n)n(b)?n!
代入Dn(x)在x?b的泰勒展开式
Dn(x)?b(b?c)n?1nb(b?c)n?2n(n?1)b(b?c)n?3?(x?b)?(x?b)2??
1!2! ?若 b?c
n(n?1)?2b(x?b)n?1?(x?b)n
(n?1)!则 Dn(x)?0?0???nb(x?b)n?1?(x?b)n?(x?b)n?1[x?(n?1)b] 若 b?c 则 Dn(x)?bnb(b?c)n?(b?c)n?1(x?b)???(x?b)n?(b?c)n b?c1!b?cb(x?c)n?c(x?b)n ?
(b?c)令 x?a，则
当 b?c时，Dn?(a?b)n?1[a?(n?1)b]；
b(a?c)n?c(a?b)n当 b?c时，Dn?.
b?c
2.8 证明中值定理
泰勒公式法证明中值定理适用于函数f(x)具有二阶或二阶以上连续导数的命
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泰勒公式的应用
题.首先将函数在所需点处进行泰勒展开（一般根据右边表达式确定展开点），然后对泰勒余项进行适当处理（一般是利用介值定理），如下给出例题具体说明.
例13 设f(x)?c[a,b],在(a,b)内二阶可导，证明存在c?(a,b)使
a?b(b?a)2f(a)?2f()?f(b)?f??(c).
22分析 函数f(x)具有二阶或二阶以上连续导数的命题，联想到进行泰勒展开. 首先将函数f(x)在所需点
a?b处进行泰勒展开；然后将a,b分别代入泰勒展式，2最后用达布定理处理余项.
a?b处进行泰勒展开，并代入a,b得 2f??(c1)a?ba?ba?ba?b2a?b)?f?()(a?)?(a?) a?c1? f(a)?f( 2222!22f??(c2)a?ba?ba?ba?b2a?b)?f?()(b?)?(b?) ?c2?b f(b)?f(2222!22证明 将函数f(x)在点
上述两式左右相加，得
a?b(b?a)2f??(c1)?f??(c2)(b?a)2f(a)?f(b)?2f()?()?f??(c)
2424例14 设函数f(x)在(a,b)上具有连续的二阶导数，证明在(a,b)内存在一点
?，使?f(x)dx?(b?a)f(aba?b1)?(b?a)3f??(?). 224xa分析 定积分的证明，应先作辅助函数F(x)??f(t)dt，再按前面说明的步骤进行展开与处理并证明.
证明 令 F(x)??则
F(a)?0，F?(x)?f(x)，F??(x)?f?(x)，F???(x)?f??(x)
F(x)在点x0?a?b处的二阶泰勒公式为 2a?ba?ba?b1a?b3F(x)?F()?F?()(x?)???F???(?)(x?)
2223!2a?ba?ba?b1a?b3)?f()(x?)???f??(?)(x?) ?F(2223!224
xaf(t)d t榆林学院本科毕业论文
其中
x???a?b 2得 x?b，x?a 并分别代入上式，相减，得 F(b)?F(a)?(b?a)f(其中 不妨设
f??(?1)?f??(?2) 则
f??(?1)?f??(?1)?f??(?2)?f??(?2)
2a?ba?b??1?b,a??2? 22f??(?1)?f??(?2)a?b1)?(b?a)3() 2242由f??(?2)的连续性及介值定理，可知在?1,?2之间至少存在一个??(a,b)，使
f??(?)?f??(?1)?f??(?2)
2a?b1)?(b?a)3f??(?). 224故
?baf(x)dx?F(b)?F(a)?(b?a)f(例15 设函数f(x)在[?1,1]上具有三阶连续导数，且f(?1)?0，f(1)?1，以及
f?(0)?0，证明在(?1,1)内至少存在一点?，使f???(?)?3.
证明 由麦克劳林公式，得 f(x)?f(0)?f?(0)x?分别令
x??1，x?1 并将所得两式相减，得
f???(?1)?f???(?2)?6 (?1??1?0,0??2?1)
由f???(x)的连续性知，f???(x)在[?1,?2]上有最大值M和最小值m，则有
1 m?[f???(?1)?f???(?2)]?M
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11f??(0)x2?f???(?)x3 (0???x) 2!3!泰勒公式的应用
由连续函数得介值定理知，至少存在一点??[?1,?2]?(?1,1)，使得
1f???(?)?[f???(?1)?f???(?2)]?3.
2例16 设f(x)在[a,b]上二阶连续可微，其中a?0?b，则在该区间上存在一个?，使?f(x)dx?bf(b)?af(a)?ab121[bf?(b)?a2f?(a)]?(b3?a3)f??(?). 2!3!证明 令
F(x)??f(t)dt
ax将F(x)在x?t(a?t?b)处展成二阶泰勒公式为
F(x)?F(t)?f(t)(x?t)?11f?(t)(x?t)2?f??(?)(x?t)3 （2-9） 2!3!令 x?0，t?a 则由（2-9），可得
F(0)?F(a)?f(a)(?a)?11f?(a)a2?f??(?1)(?a)3 （2-10） 2!3!令
x?0，t?b 则由（2-9），可得
F(0)?F(b)?f(b)(?b)?11f?(b)b2?f??(?2)(?b)3 （2-11） 2!3!121[bf?(b)?a2f?(a)]?[b3f??(?2)?a3f??(?1)] 2!3!（2-10）减（2-11），得
F(b)?F(a)?bf(b)?af(a)?令
m?min?f??(?1),f??(?2)?，M?max?f??(?1),f??(?2)? 又因
?a3?0 (a?0) 则有
m(b3?a3)?b3f??(?2)?a3f??(?1)?M(b3?a3)
因为f??(x)在[a,b]上连续，据介值定理知存在?，使得
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