榆林学院本科毕业论文
又 ?34f??(a)(x?a) ?02故g(x)在x?a处取得极大值，极大值为1.
2.5.2 求函数的拐点
利用数学分析教材中运用二阶导数的符号判定拐点，进一步可得到下面结论：定理3 若f(x)在点x0及邻域U(x0)内具有三阶连续导数，且
f??(x0)?0，f???(x0)?0，则(x0,f(x0))为曲线的拐点. 证明 由导数定义有
f???(x0)?limx?x0f??(x)?f??(x0)f??(x) ?limx?x0x?x0x?x0由于 f???(x0)?0 可设 f???(x0)?0
由极限的保号性，存在点x0的某一去心邻U(x0)当x?U(x0)时，有00f??(x0)?0.x?x0即当x?x0?0时，f??(x)?0；当x?x0?0时，f??(x)?0.因此点(x0,f(x0))为曲线的拐点.
由以上结论可以得到更一般的情形，概括为下面的定理4. 定理4 若f(x)在点x0及邻域U(x0)内具有n阶连续导数，且
f??(x0)?f???(x0)??=f(n?1)(x0)?0，f(n)(x0)?0，则
（i）若n为偶数，则点(x0,f(x0))一定不是曲线的拐点； （ii）若n为奇数，则点(x0,f(x0))为曲线的拐点. 证明 情形（i），令
g(x)?f??(x)，g?(x)?f???(x)，?，g(n?3)(x)?f(n?1)(x)
由条件
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泰勒公式的应用
f??(x0)?f???(x0)???f(n?1)(x0)?0
可得
g(x0)?g?(x0)???g(n?3)(x0)?0，g(n?2)(x0)?f(n)(x0)?0.
若n为偶数，则n?2为偶数，由极值判定定理可知g(x)在x0处取得极值，也就是在点x0取得极值.由极值定义，在点x0的某个去心邻域内，对任意一x，有
f??(x)?f??(x0)或f??(x)?f??(x0)，故(x0,f(x0))一定不是拐点.
情形（ii），令
?(x)?f?(x)，??(x)?f??(x)?，?(n?2)(x)?f(n?1)(x)
可得
??(x0)????(x0)????(n?2)(x0)?0，?(n?1)(x0)?0.
若n为奇数则n?1为偶数，由定理可知?(x)?f?(x)在点x0取得极值.因此二阶导数f??(x)在点x0两侧异号，故(x0,f(x0))为拐点.
例10 求函数f(x)?x4(x?2)3的拐点. 解 由
f?(x)?x3(x?2)2(7x?8) 所以求得函数的驻点为
8 x1?0，x2??2，x3??.
7求得f(x)的二阶导数为
f??(x)?6x2(x?2)(7x2?16x?8)?
8f??(0)?0，f??(?2)?0，f??(?)?0.
78所以，f(x)在x??时取得极大值，三阶导为
7 f???(x)?6x(35x3?120x2?120x?32)?
f???(0)?0，f???(?2)?0.
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由定理知，n?3为奇数.f(x)在x??2不可能取得极值，由定理知(?2,0)为曲线的拐点.四阶导为
f(4)(x)?24(35x3?90x2?60x?8)
所以
f(4()0)? 00)点由定理知，n?4为偶数.所以f(x)在x?0时取得极小值，则由定理得(0，一定不是曲线的拐点.
2.5.3 判别函数的凹凸性
定义1 设f(x)在[a,b]上连续，如果对(a,b)内的任意两点x1与x2，恒有关系式f(x1?x2f(x1)?f(x2))?成立，则称f(x)在[a,b]上的图形是凹的；如果恒有22x?xf(x1)?f(x2)f(12)?，则称f(x)在[a,b]上的图形是凸的.
22此处利用二阶泰勒展开式给出一个凹凸性判别定理，并证明了定理. 定理5 （凹凸性判别定理）设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶及二阶导数，那么
（i）若在(a,b)内，f??(x)?0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的； （ii）若在(a,b)内，f??(x)?0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的. 证明 情形（i），设
x1,x2?(a,b)
设 x1?x2 记
x0?x1?x2，x2?x0?h?x0?x1 2则 x1?x0?h，x2?x0?h 由泰勒公式，知
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泰勒公式的应用
1f??(?1)(h2) x1??1?x0 （2-5） 212 f(x2)?f(x0?h)?f(x0)?f?(x0)h?f??(?2)(h) x0??2?x2 （2-6）
2 f(x1)?f(x0?h)?f(x0)?f?(x0)h? f(x1)?f(x2)?2f(x0)?f(x0?h)?f(x0?h)?2f(x0)
1 ?(f??(?1)?f??(?2))h2?0 （2-7）
2因此
f(x1)?f(x2)x?x?f(x0)?f(12)
22所以，f(x)在[a,b]上的图形是凹的.
情形（ii），若 f??(x)?0，则根据（2-7）式可推出
f(x1)?f(x2)x?x?f(12).
22所以，f(x)在[a,b]上的图形是凸的.
2.6 求高阶导数
在解题中经常会遇到这样一类问题，即已知函数f(x)，求解f(n)(x0).一般地，由f(x)的较为复杂的形式导致f(n)(x0)求解困难.而如果从f(x)的已知泰勒展开式中求f(n)(x0)会很容易.
定理6 若在x0的邻域I内，已知f(x)的泰勒展开式 f(x)?0a?1a(x?0x)?2a(?x则
f(n)(x0)?n!an
证明 对（2-8）两端对x分别求导后，将x?x0代入，得
20x)??nn?a(?x)x ?x?I （2-8） 0?f?(x0)?a1
f??(x0)?2!a2
??
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f(n)(x0)?n!an
??
推论 若在x?0的邻域I内已知f(x)的麦克劳林展开式
f(x)?a0?a1x?a2x2???anxn?? x?I，则f(n)(0)?n!an.
例11 求f(x)?x2ln(1?x)在x?0处的n阶导数f(n)(0) (n?3). 解 由泰勒公式
f(n)(0)nf(x)?f(0)?f?(0)x???x?0(xn)
n!以及
n?2x2x3n?1x1x?)xx?[?????(1)? xln(?23n?222xn?02(
)]nx4x5n?1x?x?????(?1)?0(xn) 23n?23f(n)(0)1?(?1)n?1 n!n?2故
f
(n)(?1)n?1n!(0)?
n?22.7 计算行列式
对于行列式值的求法，常用的是代数知识.现可从泰勒公式入手，若一个行列式可看作x的函数（一般为x的n次多项式），记为f(x)，只要函数行列式函数的各阶导数较易计算，那么按泰勒公式在某点x0处展开就可以求得一些行列式的值，使得计算行列式值变得很便利.
下面介绍如何利用泰勒公式来计算行列式得值，一般思路为 （a）根据所求行列式的特点，构造相应的行列式函数；
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